Электротехника / Електротехніка

Рисунок 1.11 – Еквівалентне перетворення нерозгалуженого

електричного кола

Струм І, що протікає в усіх послідовно з'єднаних елементах, один і той самий, напруга U на кінцевих виводах кола дорівнює сумі спаду напруг на кожному з його елементів:

I = I1 = I2 K = In ,

U = U1 + U2 +K + Un = I R1 + I R 2 +K + I R n = I (R1 + R 2 +K + R n ) .

Таким чином, електричне коло з послідовним з'єднанням n опорів замінюється на коло з одним еквівалентним опором (рис. 1.11, б), значення якого дорівнює

Тобто еквівалентний опір послідовного з'єднання дорівнює сумі опо- рів послідовно з'єднаних опорів (резистивних елементів).

Паралельне з'єднання (рис. 12, а) характеризується тим, що всі еле- менти приєднуються до однієї і тієї самої пари вузлів електричного кола. При цьому до всіх елементів прикладена одна й та сама напруга U, а зага- льний струм І дорівнює

U = U1 = U2 K = Un ,

Таким чином, електричне коло з паралельним з'єднанням n опорів замінюється на коло з одним еквівалентним опором (рис. 1.12, б), значення якого Rекв визначається за формулою

22

Рисунок 1.12 – Еквівалентне перетворення розгалуженого електричного кола з паралельним з’єднанням елементів

У разі паралельного з'єднання двох опорів еквівалентний опір дорівнює

Еквівалентний опір ділянки кола, яка складається з n однакових паралельно з'єднаних опорів, визначається як

R

R екв = n .

У складних колах зустрічаються з'єднання, які не можна віднести ні до послідовних, ні до паралельних. Такими є трипроменева зірка (рис. 1.13, а) та трикутник опорів (рис. 1.13, б). Їх взаємне еквівалентне пе- ретворення в багатьох випадках дозволяє істотно спростити схему й при- вести її до змішаного з'єднання опорів.

а – трипроменевою зіркою; б – трикутником Рисунок 1.13 – З’єднання опорів

23

Зазначені заміни трикутника й зірки опорів повинні бути еквіва- лентними, тобто при відповідно незмінних напругах між вузлами a, b, c трикутника й зірки струми в зовнішній частині кола також повинні за- лишатися без змін.

Опори еквівалентного трикутника (заміна зірки на трикутник) визна- чаються за формулами:

Таким чином, для визначення опору сторони еквівалентного трикут- ника підсумовують опори двох віток зірки, приєднаних до тих самих вузлів, що й сторона трикутника, та їх добуток, поділений на опір тре- тьої вітки зірки.

Якщо зіркою з’єднані три однакові опори R, тоді кожен з опорів ек- вівалентного трикутника згідно з формулою (1.12) буде дорівнювати 3R.

Опори еквівалентної зірки (заміна трикутника на зірку) визначаються за формулами:

Отже, опір вітки еквівалентної зірки дорівнює добутку опорів двох сторін трикутника, які приєднані до тієї самої вершини, що й вітка зірки, поділеному на суму опорів усіх сторін трикутника.

Якщо трикутником з’єднані три однакові опори R, тоді кожен з опо- рів еквівалентної зірки згідно з формулою (1.13) буде дорівнювати R3 .

24

Приклад 1.1

Знайти: 1) струм у нерозгалуженій ділянці складного електричного кола з одним джерелом живлення (рис. 1.14); 2) струми та спад напруги на кожному окремому елементі; 3) перевірити баланс потужностей. Зна- чення ЕРС, внутрішнього опору ЕРС і опорів зовнішньої частини кола вважаються відомими.

Рисунок 1.14 – Складне електричне коло з одним джерелом ЕРС

Розв'язання

Оскільки задане коло має одне джерело живлення, для розв’язання задачі застосуємо метод еквівалентних перетворень.

Проведемо заміну трикутника опорів R3, R4, R5 на еквівалентну три- променеву зірку з опорами R34, R45, R35, зовнішні виводи («проміні») якої підімкнені до тих самих точок b, c, d кола, у яких знаходилися вершини

Рисунок 1.15 – Заміна «трикутника» на еквівалентну «зірку»

Перетворена еквівалентна схему набуває значно простішого вигляду та містить тільки послідовно та паралельно з’єднані елементи (рис. 1.16). Слід зазначити, що вузли b, c, d кола перетворюються в точки.

25

Рисунок 1.16 – Електрична схема після заміни опорів, з’єднаних «трикутником» на еквівалентну трипроменеву «зірку»

Значення опорів R34, R45, R35 визначають відповідно до формул (2.13):

Наступним кроком є заміна послідовно з’єднаних опорів R45 і R7, R35 і R6 їх відповідними еквівалентами – R457, R356 , опори яких розраховують згідно з формулою (1.9):

R 457 = R 45 + R 7 , R 356 = R 35 + R 6 .

Після зазначеного перетворення схема набуває вигляду, який наве- дено на рисунку 1.17.

Як можна бачити, опори R457 і R356 з’єднані паралельно. Їх еквівален- тний опір R/, який з’єднується з вузлами e та f, може бути знайдений за фор-

мулою (1.11):

R′ = R 457 R 356

R 457 + R 356 .

Після цього перетворення схема набуває вигляду, наведеного на рисунку 1.18.

26

R1 g

R34

R8

h f

Рисунок 1.17 – Електрична схема після заміни опорів R45 і R7, R35 і R6

відповідними еквівалентними опорами R457, R356

Рисунок 1.18 – Електрична схема після заміни опорів R457 і R356

на еквівалентний опір R/

Видно, що опір R2 з’єднаний паралельно з послідовно з’єднаними опорами R34 і R/. Їх об’єднаний еквівалентний опір R//, який після пере- творення схеми з’єднується з точками g і h схеми, визначається так:

R // = R 2 (R 34 + R / ) .

R 2 + R 34 + R /

Після цього перетворення схема набуває вигляду, наведеного на рисунку 1.19.

27

Рисунок 1.19 – Електрична схема після заміни опорів R2, R34 та R/

еквівалентним опором R//

Усі опори у даному електричному колі з’єднані послідовно. Еквіва- лентний опір зовнішньої частини кола дорівнює

R екв = R1 + R // + R8 .

Струм І у нерозгалуженій ділянці кола може бути знайдений відпові- дно за формулою (1.3):

E

I = R 0 + R екв .

Як можна побачити з електричної схеми (рис. 1.19), струм І у нероз- галуженій ділянці кола дорівнює струмам опорів R1, R8 і R//, оскільки в цьому разі маємо просте або нерозгалужене коло. Спад напруги на цих опорах знаходять відповідно до закону Ома (формула (1.2.1) для визначен- ня напруги). Таким чином,

Для подальшого знаходження струмів і спадів напруги переходимо до розгляду схеми на рисунку 1.18, взявши до уваги, що різниця потенціа- лів між точками g та h дорівнює U//.

Відповідно до цього визначимо: 1) струм І2 опору R2; 2) струм І34 по- слідовно з’єднаних опорів R2 та R/; 3) спад напруги на опорах R2, R34 та R/:

28

Взявши до уваги, що різниця потенціалів між точками е та f дорівнює U/, переходимо до розгляду схеми на рисунку 1.17.

Визначимо струми І356 і І457 опорів R356, R457, які з’єднані паралельно:

Далі переходимо до розгляду схеми на рисунку 1.16.

Опори R35 і R6 з’єднані послідовно, тому струм І6 опору R6 і струм І35 опору R35 дорівнюють відповідно струму І356, спад напруги на опорах R35 і R6 знайдемо за законом Ома:

I6 = I356 , I35 = I356 , U6 = I6 R 6 , U35 = I35R 35 .

Опори R45 і R7 також з’єднані послідовно, тому струм І7 опору R7

Решту невідомих струмів і відповідних спадів напруги знайдемо за допомогою першого та другого законів Кірхгофа. Для цього повернемо- ся до початкової схеми, на якій довільно позначимо напрями струмів у вітках (рис. 1.20).

Рисунок 1.20 – Складне електричне коло з одним джерелом ЕРС

Визначимо напругу U5, для чого, вибравши напрямок обходу проти руху годинникової стрілки, запишемо другий закон Кірхгофа для контуру, що складається з опорів R5, R7 і R6:

U5 + U6 − U7 = 0 U5 = −U6 + U7 .

29

Тоді струм І5 опору R5 дорівнює

I5 = U5 .

R 5

Невідомі струми І3 та І4 можна легко знайти за допомогою першого закону Кірхгофа для вузлів с і d схеми (рис. 1.20), після чого визначити відповідні спади напруги:

I3 + I5 − I6 = 0 I3 = −I5 + I6 ,

U3 = I3R3 ,

I4 − I5 − I7 = 0 I4 = I5 + I7 ,

U4 = I4R 4 .

Таким чином, усі невідомі струми та відповідні спади напруги визначені.

Для перевірки знайдених значень перевіримо баланс потужності, для чого визначимо потужність Рдж, яку віддає джерело живлення у зовнішнє коло, та сумарну потужність Рпр приймачів електричної енергії:

Pдж = (E − I R 0 ) I,

Pпр = I12 R1 + I2 2 R 2 + I3 2 R 3 + I4 2 R 4 + I5 2 R 5 + I6 2 R 6 + I7 2 R 7 + I8 2 R 8 .

Якщо Pдж = Pпр , це означає, що задачу розв’язано вірно.

1.6.2 Метод безпосереднього застосування законів Кірхгофа

Закони Кірхгофа є найбільш загальними, універсальними законами, які описують режим роботи електричного кола. Методи розрахунку, які засновані на цих законах, можуть бути застосовані до розрахунку будь-яких електричних кіл. Найчастіше їх застосовують для визначення струмів у вітках складних кіл із декількома джерелами електричної енергії.

Для того щоб визначити режим роботи електричного кола за допомогою методу безпосереднього застосування законів Кірхгофа, необхідно:

1) для вузлів схеми скласти незалежні рівняння відповідно до першого закону Кірхгофа;

2) для незалежних контурів схеми скласти рівняння відповідно до другого закону Кірхгофа;

3) вирішити складену систему рівнянь і розрахувати струми в кожній вітці кола. Для перевірки правильності розв'язання скласти баланс потужностей.

30