16.1 Определение дифференциала. Его геометрический смысл

Рассмотрим функцию .

По определению производной:

Выражение является бесконечно малой функцией приболее высокого порядка, чем. Т.е. приращение функции состоит из двух слагаемых, первое из которых называетсяглавной частью приращения, а второе является бмв.

Главная часть приращения функции называется дифференциалом данной функции и обозначается:

(16.1)

Найдем дифференциал функции :

.

Следовательно, дифференциал аргумента равен приращению этого аргумента:

(16.2)

Формулу (16.1) можно записать в виде:

(16.3)

Из формулы (16.3) вытекает то, что производная функции равна отношению дифференциалов функции и аргумента, т.е.:

(16.4)

Проведем к графику функции в некоторой точкекасательную. Зададим в этой же точке приращение аргументу, при этом функция получит приращение. Из рисунка очевидно то, чтодифференциал данной функции в точке равен приращению ординаты касательной в этой точке.

16.2 Свойства дифференциала

16.3 Дифференциалы высших порядков

Дифференциал второго порядка равен дифференциалу от дифференциала первого порядка и т.д. Обозначения:

ЛЕКЦИЯ 17

Теоремы о дифференцируемых функциях

17.1 Теорема Ферма

Пусть функция непрерывна на некотором промежуткеи в некоторой точкепринимаетнаименьшее или наибольшее значение, то если в этой точке существует производная данной функции, то эта производная равна нулю.

17.2 Теорема Ролля

Если функция непрерывна на некотором промежутке, дифференцируема во всех его внутренних точках, а на концах этого промежутка принимает одинаковые значения, т.е. выполняется равенство:, то внутри данного промежутка существуетхотя бы одна точка , в которой производная функцииобращается вноль:

17.3 Теорема Коши

Пусть функции инепрерывны на отрезкеи дифференцируемы на интервале, причемдля. Тогда существуетхотя бы одна точка , в которой выполняется равенство:

(17.1)

Доказательство.

Заметим сначала, что выполняется неравенство , т.к. равенство нулю этой разности противоречит теореме Ролля.

Введем вспомогательную функцию:

.

На концах отрезка эта функция равна:

Таким образом, функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля: непрерывна на отрезке, дифференцируема на интервале, т.к. являетсялинейной комбинацией непрерывных и дифференцируемых функций, и принимает на концах отрезка равные значения.

Следовательно, согласно теореме Ролля, внутри отрезка существуетхотя бы одна точка , в которой производная функцииобращается в ноль. Имеем:

Что и требовалось доказать.