14.2 Производные гиперболических функций

Заметим сначала, что:

(14.5)

1. .

2. .

3. .

4. .

Таким образом, дополним таблицу производных формулами:

14.3 Производные сложных функций

Если заданная функция имеет вид:

, то производная этой функции равна произведению производной внешней функции попромежуточному аргументу на производную этого промежуточного аргумента. Таким образом, можем записать:

(14.6)

Пример. Найти производную функции

.

Решение

14.4 Производные высших порядков

Производной второго порядка называется производная от первой производной.

Производной третьего порядка называется производная от второй производной. И т.д.

ЛЕКЦИЯ 15

Функции, заданные параметрически. Их производные

15.1 Параметрическое задание функций

Одним из способов задания функции является такой способ, при котором текущие координаты ирассматриваются как функцииодних и тех же значений третьей переменной величины:

(15.1)

При этом, уравнения (15.1) называются параметрическими уравнениями некоторой линии на плоскости, а переменная называетсяпараметром.

Примеры параметрических уравнений некоторых известных линий:

ОКРУЖНОСТЬ:

(15.2)

ЭЛЛИПС:

(15.3)

ЦИКЛОИДА:

(15.4)

Циклоидой называется линия, описываемая окружностью с центром в точке , радиуса, катящейсябез скольжения по оси абсцисс.

О х

15.2 Производные параметрических функций

Рассмотрим функцию, заданную параметрическими уравнениями:

Таким образом, получили формулу:

(15.5)

Найдем вторую производную параметрической функции:

Таким образом, получили формулу:

(15.6)

Темы: «Дифференцирование неявных функций» и «Логарифмическое дифференцирование» Рассматриваются на практических занятиях!

15.3 Уравнения касательной и нормали к графику функции в заданной точке

Рассмотрим функцию , непрерывную на некотором промежутке. Найдем уравнение касательной к графику этой функции в точке, принадлежащей данному промежутку. Воспользуемся известным уравнением прямой на плоскости, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом. При этом, из геометрического смысла производной известно, что угловым коэффициентом касательной является производная данной функции, вычисленная в точке касания. Следовательно, искомым уравнением является уравнение:

(15.7)

Нормалью графика функции в точке называется прямая, проходящая через эту точку, перпендикулярно касательной в данной точке. Следовательно, уравнение нормали:

(15.8)

ЛЕКЦИЯ 16

Дифференциал