9.1 Определение функции одной переменной

Рассмотрим два множества и.

Если существует некоторый закон, ставящий в соответствие каждому элементу множества единственный элемент множества , то говорят, что на множествезадана функция со значениями во множестве

.

Обозначение: .

При этом множество называетсяобластью определения функции , а множество областью значений этой функции.

Элементы множеств иназываютсяпеременными.

Переменная называетсяаргументом, а переменная называется функцией.

9.2 Способы задания функции

1. Аналитический.

- уравнение, характеризующее зависимость между переменными.

2. Графический

3. Табличный

9.3 Основные свойства функции

1. Постоянная функция.

График постоянной функции представляет собой прямую линию, параллельную оси .

2. Четные и нечетные функции.

Функция называетсячетной, если выполняется равенство .

График четной функции симметричен относительно некоторой прямой, как правило, - относительно оси .

Функция называетсянечетной, если выполняется равенство .

График нечетной функции симметричен относительно некоторой точки, как правило, - относительно начала координат, т.е. точки.

Если ни одно из этих равенств не выполняется, то функция является функцией общего вида.

3. Периодические функции.

Функция называетсяпериодической с периодом Т, если выполняется равенство .

9.4 Основные элементарные функции. Их графики

ЛЕКЦИЯ 10

Непрерывность функции

10.1 Односторонние пределы

Правосторонним пределом функции при , называется предел данной функции, когда аргумент стремится к своему пределу, точке , справа, т.е. оставаясь больше . Обозначается такой предел так:

Левосторонним пределом функции при , называется предел данной функции, когда аргумент стремится к своему пределу, точке , слева, т.е. оставаясь меньше . Обозначается такой предел так:

10.2 Определение непрерывности функции

Функция называется непрерывной в точке , если для данной функции в этой точке существуют конечные левосторонний и правосторонний пределы, равные между собой, и равные значению функции в точке , т.е. выполняется равенство:

Функция, непрерывная во всех точках некоторого отрезка, называется непрерывной на отрезке.

Если условия непрерывности функции не выполняются, функция называется разрывной.

10.2 Классификация точек разрыва функции

1. Разрыв 1-го рода.

Говорят, что функция в точке терпит разрыв 1-го рода, если для этой функции в данной точке существуют конечные односторонние пределы, но эти пределы НЕ РАВНЫ между собой.

2. Разрыв 2-го рода.

Говорят, что функция в точке терпит разрыв 2-го рода, если для этой функции в данной точке хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности.

Сумма, разность, произведение, частное (если делитель отличен от нуля) непрерывных функций – являются непрерывными функциями.

Примеры непрерывных функций

Пример1. Рассмотрим функцию . Найдем предел этой функции при.

Решение

Очевидно то, что этот предел не изменится при . Данная функция являетсянепрерывной на всей числовой оси.

Пример2 Рассмотрим функцию . Найдем пределы этой функции слева и справа при.

Решение

Данная функция является непрерывной на всей числовой оси.

Примеры разрывных функций

Пример1. Рассмотрим функцию . Найдем пределы этой функции слева и справа при.

Решение

1) , т.к.

2) , т.к.

Таким образом, функция приимеетконечные, не равные между собой односторонние пределы. Следовательно, точка является для этой функцииточкой разрыва 1-го рода.

Пример2 Рассмотрим функцию . Найдем пределы этой функции слева и справа при.

Решение

1) 2)

Таким образом, функция приимеетбесконечные пределы. Следовательно, точки являются для этой функцииточками разрыва 2-го рода.

ЛЕКЦИЯ 11

Второй замечательный предел