20.2 Ряд Тейлора

Рассмотрим функцию . Найдемкоэффициенты разложения этой функции в степенной ряд по степеням :

(20.2)

1) Подставим в равенство (20.2) , получим:

Следовательно, коэффициент равен значению функциив точке .

2) Продифференцируем равенство (20.2):

Теперь подставим в последнее равенство , получим:

Следовательно, получили коэффициент

.

3) Найдем производную второго порядка левой и правой частей равенства (20.2):

Теперь подставим в последнее равенство , получим:

Следовательно, получили коэффициент

.

Находя производную третьего порядка и подставляя , получим:

.

Таким образом, выполняя последовательное дифференцирование степенного ряда, получим все коэффициенты разложения. Подставляя эти коэффициенты в выражение (20.2) получим ряд Тейлора:

(20.3)

20.3 Ряд Маклорена

Если в формуле ряда Тейлора обозначить: , то получим ряд Маклорена:

(20.4)

Пример 1

Найдем разложение в ряд Маклорена функции .

Подставляя найденные коэффициенты в равенство (20.4), получим:

(20.5)

Это разложение дает нам возможность приближенно вычислить значение постоянной .

Подставим в (20.5) , получим:

Пример 2

Найдем разложение в ряд Маклорена функции .

Подставляя найденные коэффициенты в равенство (20.4), получим:

(20.6)

Аналогично получаем ряды Маклорена для функции:

(20.7)