§ 3.6. Синтез скінченних автоматів

Скінченний автомат являє собою математичну модель пристрою із скінченною памяттю. Він переробляє вхідну множину впливів у множину вихідних сигналів , залежно від свого внутрішнього стану S, і характеризується тим, що множини ,таS, що містять усі можливі значення входів, виходів та внутрішніх станів, є скінченими. Іншими словами, існує скінчений перелік з можливих значень сигналів на вході,можливих значень сигналів на виході, а такожможливих внутрішніх станів системи.

Скінченний автомат дуже легко задати у вигляді таблиці розміру , у кожній клітинці якої в чисельнику міститься наступний внутрішній стан системи, а в знаменнику – сигнал на виході (див. рис. 3.9, а). Будь-який скінчений автомат можна також подати у вигляді орієнтованого графа, вершинами якого будуть внутрішні стани, а дугами – пари із вхідного і вихідного сигналів (див. рис. 3.9, б).

З викладеного раніше випливає, що автомати повинні містити елементи пам’яті, аби зберігати значення стану системи від такту до такту, один чи декілька вхідних та вихідних каналів.

a

	x1	x2	x3
S1	S2/y1	S2/y2	S3/y2
S2	S3/y2	S2/y1	S1/y2
S3	S1/y2	S2/y1	S3/y1

б

Рис. 3.9. Приклад задання скінченного автомата:

a – за допомогою таблиці переходів; б – за допомогою графа

Реалізація скінченних автоматів зводиться до синтезу відповідної комбінаційної схеми, що перетворює вхідні змінні йна вихідні зміннійіз заданими характеристичними функціями, тобто

,

.

Щоб зберегти стан до наступного такту, у ланцюг зворотного зв'язку потрібно ввести необхідну кількість елементів пам'яті.

При реалізації автоматів у двійковому структурному алфавіті можна використовувати розглянуті вище методи синтезу комбінаційних схем. Для цього необхідно закодувати кожен стан схеми й записати характеристичні функції у вигляді булевих функцій двійкових змінних. Таке кодування можна здійснити шляхом перетворення загальної таблиці переходу автомата до таблиці істинності в двійковому структурному алфавіті. Якщо елементи множин пронумеровано порядковими числами, починаючи з нуля, то їм відповідають коди, котрі являють собою двійкові еквіваленти цих чисел.

Приклад 15. Синтезувати скінченний автомат, заданий загальною таблицею переходів, яку подано нижче.

	0	1	2	3
0	3/0	2/0	1/1	3/0
1	3/0	2/0	1/1	3/0
2	3/0	2/0	2/0	3/0
3	3/0	0/1	0/1	1/1

Розв’язування

Запишемо вихідну таблицю переходів скінченного автомата в такому вигляді:

	0	0	0	0	1	1	1	1	2	2	2	2	3	3	3	3
	0	1	2	3	0	1	2	3	0	1	2	3	0	1	2	3
	3	3	3	3	2	2	2	0	1	1	2	0	3	3	3	1
	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	0	1	0	0	0	1

Замінюючи десяткові числа їх двійковими еквівалентами, одержуємо таблицю істинності (табл. 3.4), у якій ,,ізаписано двійковими кодами.

Таблиця 3.4

0	0	0	0	1	1	0
0	0	0	1	1	1	0
0	0	1	0	1	1	0
0	0	1	1	1	1	0
0	1	0	0	1	0	0
0	1	0	1	1	0	0
0	1	1	0	1	0	0
0	1	1	1	0	0	1
1	0	0	0	0	1	1
1	0	0	1	0	1	1
1	0	1	0	1	0	0
1	0	1	1	0	0	1
1	1	0	0	1	1	0
1	1	0	1	1	1	0
1	1	1	0	1	1	0
1	1	1	1	0	1	1

Із цієї таблиці видно, що комбінаційна схема скінченного автомата повинна мати чотири входи, відповідні вхідним змінним , і змінним стану ,, а також три виходи, які відповідають змінним стану,і виходу.

Користуючись розглянутим у § 3.5 алгоритмом, синтезуємо комбінаційну схему скінченного автомата. Для цього проведемо роздільну мінімізацію функцій ,іза допомогою діаграм Вейча – Карно (див. рис. 3.10).

Наслідком мінімізаціїї буде такий вигляд функцій:

.

а	б
в

Рис. 3.10. Мінімізація функцій за допомогою діаграм Вейча – Карно:

а – ;б – ;в –

Синтезувавши комбінаційну схему, відповідну вихідній таблиці, а також увівши два елементи затримки С₁ і С₂, одержимо структурну схему скінченного автомата (див. рис. 3.11).

Рис. 3.11. Структурна схема скінченного автомата (приклад 15)

Виходячи з того, що праві частини логічних виразів для одержання функцій ймістять загальний член, а, схема скінченного автомата може бути також подана у такому вигляді (див. рис. 3.12):

Рис. 3.12. Схема скінченного автомата (до прикладу 15)