1.3. Розбивка множин

Поняття розбивки множини. Нехай А - множина учнів якийсь школи. Позначимо через А1 множину учнів першого класу, А2 - множину учнів другого класу і т.д., А10-множина учнів десятого класу цієї школи. Ясно, що А1, А2, _{ ,} А10- підмножина множини А, причому каждое з них не порожньо ( у кожному класі, звичайно, є учні), вони попарно не мають загальних елементів (не може ж той самий людина навчатися одночасно в двох різних класах) і об'єднання всіх дорівнює А.

Говорять, що сукупність підмножин множини М утворить його розбивка, якщо каждое з цих підмножин не порожньо, будь-які два з них не мають загальних елементів і об'єднання всіх їх дорівнює М.

Таким чином, у прикладі розглянутому вище, сукупність підмножин А1, А2, , А10 утворить розбивка множини А.

Якщо, наприклад, А=1, 2, 3, 4, 5, 6, те сукупність підмножин 1, 3, 2, 4, 6, 5 множини А утворить його розбивка, а його сукупність таких підмножин 1, 2, 3,4, 5,3, 6 розбивки не утворить, тому що два з них мають спільний елемент.

Отже, висловлюючись образно, під розбивкою множини ми будемо розуміти "розбивку" його на частині або підмножини. Ясно, що одна і таж множина може бути "розбита" на частини по-різному. Так, наприклад, якщо В=a, b, c, d, e, f, то сукупності його підмножин a, b, c, d, e, f, g, іa, b, c, d, e, f, g утворять його розбивки, але різні. Тобто В "розбито" на підмножини по-різному .

Розбивки будемо позначати малими літера грецького алфавіту: , ,  і т.д.

Класи розбивки. Нехай М-множина і -деяка його розбивка. Кожне з підмножин сукупності, що утворить розбивка , називається класом розбивки.

Так, наприклад, якщо В=a, b, c, d, e, f, g і -розбивка множини В, утворене сукупністю його підмножин a, b, e, d, f, c, g, то кожне з цих підмножин є класом даної розбивки .

Якщо тепер зобразити множину за допомогою діаграми Эйлера-Венна, то її розбивку можна уявити наочно, у виді розірваного на частині кола (рис.1.7). Кожна така частина і є класом даної розбивки.

Рис.1.7. Розбивка множини

У тому самому класі розбивки ( множини М може утримуватися декілька (і навіть нескінченно багато) елементів із М. Якщо елементи x, y  М належать тому самому класу даної розбивки  , то цей факт ми будемо позначати в такий спосіб: xy(). Наприклад, для розглянутої вище розбивки  множини В можна записати ab(), de(),, а запис cd() помилковий, тому що c і d належать різним класам розбивки . Оскільки елементи a і а, звичайно, лежать у тому самому класі розбивки, тому що це один і той же самий елемент, то можна записати a a(). Аналогічно bb(), cc() і т.д.

Нехай далі для розбивки  множини М и деяких x, y, zМ має місце xy() і yz() . Запис xy() означає, що елементи x і y належать тому самому класу нашої розбивки. Аналогічно y і z знаходяться в одному й тому самому класі. Якщо тепер припустити, що x і z лежать у різних класах розбивки , то одержимо, що ці класи мають загальний елемент y, а це неможливо. Виходить, xz().

Таким чином, ми довели, що якщо xy() і yz(), то xz().

Кожний клас даної розбивки  множини М, по визначенню, не порожній, тобто в кожному класі знаходяться елементи з М.

Наприклад, для розбивки  множини У, розглянутих вище, клас розбивки a, b можна позначити a, тому що він містить елемент a. Але цей же клас містить і елемент b, виходить, його можна позначити b. Таким чином, a, b=a =b. Аналогічно e, d, f =e =d =f.

У нас вийшло, що той самий клас розбивки позначається по-різному. Це не повинно вас здивувати. І в математику, і в житті ви не разом зустрічалися з такою ситуацією. Наприклад, дроби 1/2, 2/4, 3/6,-це те саме число, що позначається по-різному.

Повернемося тепер до загального випадку розбивки  множини М. Якщо деякий клас розбивки містить елементи x і y множини М, то, з одного боку, він позначається x, а з другого - y, тобто x =y. Таким чином, ми довели, що з xy() випливає x =y.

Нехай тепер, навпаки, x =y. Але x - це клас, що містить елемент y, і ці класи рівні, тобто це той самий клас. Виходить, x і y знаходяться в тому самому класі розбивки, тобто xy(). З приведених вище міркувань ми можемо зробити такий висновок:x =y тоді і тільки тоді, коли xy().

Фактор - множини. Розглянемо побудовану вище розбивку  множини В. Підмножини a, b, e, d, f, c, g є класами цієї розбивки. Відповідно до нашої домовленості, їх можна позначити, наприклад, a, e, c, g відповідно. Таким чином, із розбивкою  пов'язана сукупність його класів розбивки, тобто множина {a,e, c,g }.

В загальному випадку, якщо  - деяка розбивка довільної множини М, то з цією розбивкою пов'язана сукупність його класів.

Сукупність усіх класів даної розбивки  множини М називається фактор- множиною множини М по розбивці  і позначається М/.

Таким чином, елементами множини М/ є класи даної розбивки  і інших елементів у ньому немає.

Якщо ми повернемося до розбивки  множини М, зображеному на рис.1.7, то множина М/ складається зі шматків (рис.1.8), на які ми розрізали коло, що зображує множину М. Далі, для нашої розбивки ( множина В маємо В/ = {a, e, c, g }. Звісно ж, елементи множини В/ можна позначити і по-іншому, і тоді, наприклад, В/=b, f, c, g.

М/ = , , , , ,

Рис.1.8. Компоненти розбитої множини

Нехай тепер  - розбивка множини В, класами якого є підмножини a, b, c, d, e, f, g. Тоді В/=a, e. Звертаємо вашу увагу на те, що a в В/ і a в В/ - це різні елементи, Наприклад, кінотеатр "Мир" у Мінську і кінотеатр "Мир" у Москві - це різні кінотеатри, і хоча вони називаються однаково, це не викликає непорозумінь. Не буде їх і в нашому випадку з розбивками, тому що завжди ясно про яку розбивку йде мова.

Зауважимо, що М/ - це сукупність лише деяких (не усіх) підмножин множини М, а 2^М-совокупность усіх їх. Виходить, М/  2^М, більш того, М/ - власна підмножина множини 2^М.

Ясно, що якщо множина М скінченна, то і будь - яка його фактор -множина в залежності від розбивки може бути як скінченна, так і нескінченна.