Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

mathlogic-s1-v1-0-0-p1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.03.2016

Размер:

615.18 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

11	Конспект лекций по математической логике (I семестр)

Опр. Машинным словом называется S = αqijβ, где α, β {0, 1} , qi Q, j {0, 1}.

L	лево
Опр. 4.2. Команды машины Тьюринга: Kij = qij → qst	на месте
R	право

Опр. Программой называется множество команд.

Есть две корректные возможности завершения программы и одна некорректная:

1)Переходит в состояние q0 и останавливается.

2)Работает бесконечно (зацикливается).

3)Не содержит нужной команды и поэтому останавливается.

Опр. 4.3. Запись S1 → S2 означает, что машина с программой П начинает работать со слова S1 и за один шаг работы переводит его в S2.

П " П П П

Опр. Запись S S′ означает, что n"S →S1 → . . . → Sn = S′, т. е. машина с программой П переводит слово S в слово S′ за конечное число шагов.

Опр. Запись S # S′ означает " , при этом в своей работе не достаивая (т. е. не используя) ячейки слева до S.

Опр. Запись S |#S′ означает " , при этом ячейки не достраиваются ни слева, ни справа от S.

Опр. f: Nn → N {Н} — частичная функция. Это означает, что на каждом кортеже функция принимает значение натурального числа или не определена.

Опр. 4.4. Кортеж (x1, . . . , xn) обозначается так: 01x1+10 . . . 01xn+10.

Опр. 4.5. Функция f: Nn → N называется вычислимой на машине Тью-

ринга, с программой П, если (1) x1, . . . , xn N если f(x1, . . . , xn) = k,

то q101x1+10	. . . 01xn+10	П	01k+10β; (2) если функция не определена,
		αq0

то машина с программой П не останавливается.

Опр. 4.6. Функция f называется правильно вычислимой на машине Тьюринга, если она вычислима и, когда f(x1, . . . , xn) определена, то получает значение, не достраивая ячейки слева.

Опр. 4.7. Машина Тьюринга с программой П называется композицией П =

= П1 · П2, если				П1			П2		П
= П1 · П2, если				S αq0jβ, αq1jβ			S′, S S′.
Опр. 4.8. Условный оператор:									П2
	П	П		П	. Определим П		П		П2
	П	П		П	. Определим П		П		E
Пусть П1 1,			2,	3		=		1	'П3
Если S	αq0010β, то запускается П2.
	1
	П
Если S αq0γ, γ ̸= 010β, то запускается П3.
Если П1, либо П2,					либо П3 не останавливаются, то П не останавливается.

http://ccfit.nsu.ru/ tarancov/

Конспект лекций по математической логике (I семестр)					12
(Далее следует реализация условного оператора на машине Тьюринга.)
Базовые машины Тьюринга:
1)	А (перенос нуля): q1001x0 \|#q001x00.
2)	Б+ (правый сдвиг): q101x0 \|#01xq00.
3)	Б− (левый сдвиг): 01xq		0 \|	q 01x0.
		1	#	0
4)	В (транспозиция): 01xq101y0			\|#01yq0	01x0.
5)	Г (удвоение): q101x0x+2 \|# q001x01x0.
6)	Цn (циклический сдвиг): q101x1 0 . . . 01xn 0 \|#q001x2 0 . . . 01xn 01x1 0.
7)	Кn (копирование):
q101x1 0 . . . 01xn 0n+2+x1+...+xn \|# 01x1 0 . . . 01xn 01x1 0 . . . 01xn 0.
8)	Л (ликвидация): q101x0 \|#q00x+2.
9)	R (вычитание единицы): q101x+10 \|#q001x00.
10)	S (прибавление единицы): q101x00 \|#q001x+10.
Предл. 4.9. Следующие функции правильно вычислимы на МТ:
а)	O(x) = 0
б)	S(x) = x + 1
в)	Imn (x1, . . . , xn) = xm
г)	x	+ y
д)	x	. 1
е)		−.
е)	x −y
ж)	x · y

! (Упр.) "

§ 5. Частично-рекурсивные функции

Опр. 5.1. Простейшие функции:

а)	O(x) = 0
б)	S(x) = x + 1
в) Imn (x1, . . . , xn) = xm
Опр. 5.2. Операторы:
а)	Оператор суперпозиции:
	f(x1, . . . , xm) = g(h1(x1, . . . , xm), . . . , hn(x1, . . . , xm)).
б)	Оператор примитивной рекурсии:
	f(x1, . . . , xn, 0) = g(x1, . . . , xn)
	( f(x1, . . . , xn, y + 1) = h(x1, . . . , xn, y, f(x1, . . . , xn, y)).
в)	Оператор минимизации:
		y	"	g(	x, y) = 0,
	f(x1, . . . , xn) =					z < y (g(		x, z) определено
	f(x1, . . . , xn) =						g(		x, z) = 0),
			"				g(		x, z) = 0),

									̸
		не определена в противном случае.

Опр. 5.3. Примитивно-рекурсивные функции (ПРФ):

1)Каждая простейшая функция является ПРФ.

Версия 1.0.0

13	Конспект лекций по математической логике (I семестр)
2)	Если функция получена из ПРФ однократным применением оператора
	суперпозиции или оператора примитивной рекурсии, то она является
	ПРФ.
3)	Других ПРФ нет.
Опр. 5.4. Частично-рекурсивные функции (ЧРФ):
1)	Каждая простейшая функция является ЧРФ.
2)	Если функция получена из ЧРФ однократным применением оператора
	суперпозиции, оператора примитивной рекурсии или оператора мини-
	мизации, то она является ЧРФ.
3)	Других ЧРФ нет.

Зам. 5.5. Каждая ПРФ является ЧРФ.

Зам. 5.6. Каждая ПРФ всюду определена. ! Индукция по построению. "

Пример 5.7. Функция W (x) = µy[S(y) = 0] нигде не определена.Предл. 5.8. Следующие функциии являются ПРФ:

f(x) = n

f(x) = x + n

f(x, y) = x + y

f(x, y) = xy· y

f(x, y) = x

Sg(x) =

x>0,

x=0

x>0,

.( 1) =

1, x=0

−.

x −y

10) f(x, y) = |x − y|

11) max(x, y)

12) min(x, y)

xn+1

13) f(x1, . . . , xn+1) =

. g(x1, . . . , xn, i)

i=0

0x,n+2

если

> xn+2,

14) f(x1, . . . , xn+2) =

g(x1, . . . , xn, i)

иначеxn+1

i=xn+1

xn+1 .

15) f(x1, . . . , xn+1) =

g(x1, . . . , xn, i)

i=0

/1,

если xn+1 > xn+2,

16) f(x1, . . . , xn+2) =

xn+2

g(x1, . . . , xn, i)

иначе

1$ %

i=xn+1

17)

= x .

x/y

(x, 0) = x

18)

0(x, y)

(остаток от деления

rest

), rest

http://ccfit.nsu.ru/ tarancov/

Конспект лекций по математической логике (I семестр)

19)τ(x) — число делителей числа x (τ(0) = 0).

20)σ(x) — сумма всех делителей числа x (σ(0) = 0).

21)lh(x) — число простых делителей числа x (lh(0) = 0).

22)π(x) — количество простых чисел, меньших либо равных x.

23)K(x, y) = НОК(x, y), K(x, 0) = K(0, x) = 0.

24)D(x, y) = НОД(x, y), D(x, 0) = D(0, x) = 0.

25)p(x) — x-е простое число (p(0) = 2, p(1) = 3, . . . ).

26)ex(x, y) = kx — показатель степени x-го простого числа в каноническом

разложении y (в разложении на простые множители).

√

27)[ x]

! Нужно доказать до п. 16, а потом воспользоваться предложением 5.10. "

Опр. 5.9. Оператор ограниченной минимизации:

если h

) — опр., y

), g(

x, y) = 0,

) =

(z < y g(

x, z) —≤

опр., g(

x, z) ̸= 0,

) + 1,

если h(

) — опр.,

≤

) g(

x, z) — опр., g(

x, z) = 0,

не опр.

иначе.

Говорят,

что

получена из

при помощи оператора ограниченной

минимизации:

j(x) = 1µy ≤ h(x)2$g(x, y) = 0%

Предл. 5.10. Оператор ограниченной минимизации не выводит нас за пределы класса ПРФ.

Эту

)

! j(x) =

Ai, где Ai = Sg

x, y) .

i=0

y=0

формулу легко проверить по определению оператора ограниченной

минимизации. (Если g(

x, y) = 0, то при i < y Ai = 1, при i ≥ y Ai = 0,

поэтому очевидно их сумма равна y.

Если же y g(

x, y) ̸= 0, то все

Ai = 1, их сумма равна h(

) + 1.)

В силу предложения 5.8 эта функция является ПРФ. "

Опр. 5.11. Оператор возвратной рекурсии:

x, 0) = g(

)

5 f

(

x, y + 1

= h

x, y, f

x, g1(

x, y) , . . . , f

x, gn(

x, y)

где g (

x, y), . . . , gn(

x, y'), g(

), h(

) — функции, причём0

x, y,

i ≤ n

y $gi(

x, y) ≤ y%.

Предл. 5.12. Если . . . и f получена при помощи оператора возвратной рекурсии, то f — ПРФ.

!(Доказательство просто огромное и его нельзя сжать. Кроме того, оно явно не входит в вопросы экзамена. Поэтому пока мы его опускаем.) "

Опр. 5.13. Канторовская нумерирующая функция C: N2 → N (биектив-

ная), если C(x, y) = n, то l(n) = x, r(n) = y.

Версия 1.0.0

15 Конспект лекций по математической логике (I семестр)

Предл. 5.14. C x, y

) =

(x+y)2+3x+y

(здесь x

— целая часть x)

(

2√

[√]8n+1

]

8n+1 +1

l(n) = n −. 6

21 · 6

[

]

7 · 6[

2 −

r(n) = 6[

]

7 −. (l(n) + 1)

√ n+1 +1

C, l, r — ПРФ.

Опр. 5.15. C2(x, y) = C(x, y);

(n) = l(n);

(n) = r(n);

Cn+1(x1, . . . , xn+1) =

C(Cn(x1, . . . , xn), xn+1);

Ckn+1(m) = Ckn(l(m)), k ≤ n;

Cnn+1+1(m) = r(m).

Предл. 5.16. Cn, Cn — ПРФ;

Ck(Cnk(x1, . . . , xn)) = xk;

Cn(Ck

(m), . . . , Ck (m)) = m.

Cn: Nn → N биективна.

! (Упр.) "

Зам. 5.17. f(x1, . . . , xn) — ПРФ h(y) = f(C1n(y), . . . , Cnn(y)) — ПРФ. h(y) — ПРФ f(x1, . . . , xn) = h(Cn(x1, . . . , xn)) — ПРФ.

Опр. 5.18. Функция называется общерекурсивной, если она частично рекурсивна и всюду определена.

Предл. 5.19. (а) ПРФ ОРФ ЧРФ; (б) ОРФ ≠ ЧРФ; (в)ПРФ ≠ ОРФ. ! (а) по определению; (б) w(x) = µy $(S(x) + y) = 0%;

(в) функция Аккермана: f(x, y, 0) = x + y, f(x, y, 1) = xy, f(x, y, 2) =

y раз

89:;

= xy, f(x, y, 3) = x xx . "

§ 6. Отношения и функции. Специальные бинарные отношения.

× n

(a, b)

A, b B .

Опр.

6.1.

Декартово произведение A × B

An = (a1

, . . . , an)

Ai .

. . .

Опр.

— n!-местное

отношение,

-арный предикат.

= !(a, c) " b ((a, b) G &

& (b, c) H)×.

Опр.

B, H

Опр.

idA =

(a, a) a

A .

(b, a)

(a, b)

Опр.

# B

G−1

G .

−

×"

◦

C 1

◦

Зам. 6.2.

" id

id .

!(Упр.) "

Зам. 6.3. (idA)−1 = idA, (A2)−1 = A2.

!(Упр.) "

Опр. 6.4. Пусть F A × B, тогда F — график функции, если

a A !b B: (a, b) F.

http://ccfit.nsu.ru/ tarancov/

Конспект лекций по математической логике (I семестр)

Опр. 6.5. Пусть C A × B, тогда проекция C на множества A и B:

!a "

B#: (a, b)

A" F = A

prA C =

(a, b) C

(a, b)

prB C

= b

Зам. 6.6.

a A b, c B: (a, b), (a, c) F (b = c).

Опр. 6.7. F — обратима

F −1 — функция.

Зам. 6.8. F A × B — обратима

b B !a A: (a, b) F.

Зам. 6.9. F A × B — обратима

F ◦ F −1 = idA & F−1 ◦ F = idB .

Опр. 6.10. Отношение предпорядка — двуместное отношения, обладающее транзитивностью и рефлексивностью (idA R).

Опр. Отношение эквивалентности — отношение предпорядка, обладающее симметричностью (R = R−1).

Опр. Отношение частичного порядка — отношение предпорядка, обла-

дающее антисимметричностью (R ∩ R−1 = idA).

Опр. Отношение линейного порядка — отношение частичного порядка,

обладающее линейностью (R R−1 = A2, или a, b A (a, b) R

(b, a) R).

Зам. 6.11.

а) idA, A2 — отношение эквивалентности.

б) idA — частичный порядок (симметричен и антисимметричен).

=A = {a}.A

г) симметрично и антисимметрично.

Упражн. 6.12. Описать все отношения, которые являются одновременно сииметричными и антисимметричными.

!" #

Опр. 6.13. [a] = a/ = b " a b — смежный класс, класс эквива-

лентности элемента a.

→

a A

— фактормножество.

Опр. A/

Опр. A

— факторизация.

&̸ [ ] ∩ [ ] =

Предл. 6.14.

a A[a] =

b .

a b [a] = [b].

c A[c] A

&a A[a];

a [a] a

! (а) [a]

a A

[a] A; a a

(б) от противного;

(в) c c [a] c [b] и c [b] c [a] . "

Опр. 6.15.

Множество {Ai}i I (где Ai A) —

разбиение

, если

(1)

i I Ai

= A;

(2) i ̸= j Ai ∩ Aj = ;

(3) i Ai

̸= .

Сл.

&Пусть B A,

b, c B b ̸c, a A b B a b. Тогда

![b]#b B — разбиение A.

Версия 1.0.0

17 Конспект лекций по математической логике (I семестр)

(a, b)

Предл. 6.17. Пусть {Ai}i I — разбиение A, R =

I (a, b)

[ #]R

эквивалентности; (2)

" Ai

I =

. Тогда (1)

R — отношение

A .

!(1) док-ть рефлексиность, симметричность, транзитивность;

(2)док-ть в двух направлениях (в значительной степени следует из первого пункта). "

§7. Максимальный, минимальный, наименьший, наибольший элемент. Точная верхняя и нижняя грань.

Опр. 7.1. Пусть A, ≤ — частично упорядоченное множество. a A — наибольний эл-т, если b A b ≤ a.

a A — наименьший эл-т, если b A b ≥ a.

a A — максимальный эл-т, если b A (a ≤ b → a = b). a A — минимальный эл-т, если b A (a ≥ b → a = b).

Зам. 7.4. Наибольший эл-т является максимальным, наименьший — минимальным.

!От противного. "

Опр. 7.5. Отношение A, < — строго частично упорядоченное множество (СЧУМ), если оно иррефлексивно (a < b a ≠ b), антисимметрично,

транзитивно.	1a ≤ b & a ̸= b2.
Опр. 7.6. A, ≤ — ЧУМ. a < b

Предл. 7.7. Пусть A, ≤ — ЧУМ, тогда A, < — СЧУМ. ! (1) По определению.

(2) a < b & b < a a ≤ b & b ≤ a a = b.

(3) a < b & b < c a ≠ b & b ≠ c; a ≤ b & b ≤ c a ≤ c; далее

от противного: a = c a ≤ b & b ≤ a a = b — противоречие, значит a ≠ c, т. е. a < c. " 1 2

Предл. 7.8. A, < — СЧУМ. a ≤ b a < b a = b . A, ≤ — ЧУМ.

! Элементарно. "

Предл. 7.9. A, ≤ — ЧУМ, A — конечное. Тогда

a A b, c A c ≤ a ≤ b,

где c — минимум, b — максимум.

Предл. 7.10. A, ≤ — ЧУМ. a — наибольший (наименьший) элемент. Тогда a — единственный максимальный (минимальный) элемент.

!Элементарно. "

Предл. 7.12. Пусть A, ≤ — конечное ЧУМ. Если a — единственный максимальный (минимальный) элемент, то a — наибольший (наименьший) элемент.

!Элементарно. "

http://ccfit.nsu.ru/ tarancov/

Конспект лекций по математической логике (I семестр)

Предл. 7.13. L, ≤ — ЛУМ. a — максимальный a — наибольший, a — минимальный a — наименьший.

! Элементарно. "

Сл. 7.14. В конечном ЛУМ существуют наибольший и наименьший элементы.

Опр. 7.15. Пусть A, ≤ — ЧУМ, M A.

Верхняя грань M: M ≤ a b M b ≤ a.

Нижняя грань M: a ≤ M b M a ≤ b-. b M b ≤ a, M ≤ a,

Точная верхняя грань M: a = sup M		c	A M	≤	c		a	≤	c.
Точная нижняя грань M: a = inf M -				≤				≤
	b	M a		b, a		M,
	c	A c ≤≤M ≤ c ≤ a.

Опр. 7.16. Пусть R, ≤ — ЧУМ, тогда R — решёточно-упоряденное мно-

жество (РУМ), если a, b R ( sup{a, b} & inf{a, b}), тогда a b =

= sup{a, b}, a ∩ b = sup{a, b}, R, , ∩ — решётка.

Опр. Если a, b R sup{a, b}, то R, — верхняя полурешётка.

Опр. Если a, b R inf{a, b}, то R, ∩ — нижняя полурешётка.

Зам. 7.17. R, ≤ — РУМ R — нижняя и верхняя полурешётка.

Предл. 7.19.

а) M ≤ a & a M a — наибольний эл-т в M a ≤ M & a M a — наименьший эл-т в M

б) a — наибольший в M a = sup M a — наименьший в M a = inf M

в) a M & a ≥ M a = sup M a — наибольший в M. a M & a ≤ M a = inf M a — наименьший в M.

! (Упр.) "

Опр. 7.20. Множество всех подмножеств множества X:

P(X) = !Y

Y X

sup A, B

= A

Предл. 7.21.

≤

— РУМ;

(inf{A, B} = A ∩ B

P(X),

"A, B

{

}

!(Упр.) "

Предл. 7.22. L, ≤ — ЛУМ L — РУМ.

!a, b L, пусть a ≤ b, тогда sup{a, b} = b, inf{a, b} = a. "

Опр. 7.23. A = A; , ∩, , 0, 1 — булева алгебра, если a, b, c A:

1)a b = b a (коммутативность)

2)a ∩ b = b ∩ a (коммутативность)

3)a (b c) = (a b) c (ассоциативность)

4)a ∩ (b ∩ c) = (a ∩ b) ∩ c (ассоциативность)

5)a (b ∩ c) = (a b) ∩ (a c) (дистрибутивность)

6)a ∩ (b c) = (a ∩ b) (a ∩ c) (дистрибутивность)

7)a b = a ∩ b (закон де Моргана)

Версия 1.0.0

19	Конспект лекций по математической логике (I семестр)

8)a ∩ b = a b (закон де Моргана)

9)a a = a (идемпотентность)

10)a ∩ a = a (идемпотентность)

11)a a = 1

12)a ∩ a = 0

13)a = a

законы нейтрального элемента:

14)a 0 = a

15)a ∩ 0 = 0

16)a 1 = 1

17)a ∩ 1 = a

Предл. 7.24. P(X); , ∩, , , X — булева алгебра.

! (Упр.) "

Опр. Введём обозначения: "

Fn = F(A1, . . . , A"n) = !ϕ " ϕ — формула от проп-х перем-х A1, . . . , An#.

=&n Fn = !ϕ " ϕ — формула от проп-х перем-х Ai, i N#.

Опр. 7.25.

= [ ]

Fn/ =! [ϕ]

ψ F

(ϕ F).

[ϕ]n = ψ

(ϕ Fn)

[ϕ] =

F .

;

Зам.

7.26.

"< m Fn #

Опр. 7.27. Пусть

nϕ, ψ Fn

(ϕ, ψ

F). Тогда:

&n[ψ]

[ψn]

= [ϕ n

[ϕ]

=n[ϕ &

ψ]

;

[ϕ]

ψ]

;

[ϕ]

→ [ψ] = [ϕ →

ψ]

¬[ϕ

] = [¬ϕ] .

(аналогично без n).

Предл. 7.28. Предыдущее определение корректно, т. е. результат примене-

ния логических операций не зависит от выбора представителей классовой

эквивалентности, а именно при [ϕ] = [ϕ1], [ψ] = [ψ1] имеем [ϕ & ψ] = = [ϕ1 & ψ1] и т. д.

!(Упр.) "

Предл. 7.29. (а) Fn/ ; , &, ¬, И, Л — булева алгебра;

;, &, ¬, И, Л — булева алгебра.(б) F/

! (Упр.) "

Опр. 7.30. Пусть A — БА, a, b A. a ≤ b a ∩ b = a.

Предл. 7.31. A — БА A, ≤ — ЧУМ.

!Элементарно. (По определению.) "

Сл. 7.32. Пусть A — БА, a A, тогда 0 ≤ a ≤ 1.

!0 ∩ a = 0, a ∩ 1 = a. "

Зам. 7.33. Пусть A — БА, a b = a ∩ b, a ∩ b = a b, 0 = 1, 1 = 0.

Тогда A = A, , ∩ , , 0 , 1 — БА.

http://ccfit.nsu.ru/ tarancov/

Конспект лекций по математической логике (I семестр)	20
Предл. 7.34. Пусть A — БА, a, b A. Тогда a ≤ b	a b = b.

! Элементарно. (Преобразованиями, используя законы де Моргана и 0 = = (a ∩ ¬a).) "

Предл. 7.35. A — БА A, ≤ — РУМ.

!Элементарно. ( A , ≤ — ЧУМ из 7.31. Док-м a, b

∩ b, sup{a, b} = a b, используя a x = x a ≤

A inf{a, b} = a ∩ x.) "

§8. Мощность множества

Опр. 8.1. Ординалы: 0 — , 1 — { }, 2 — {0, 1} = { , { }}.

!" #

=α " α < ω .

Опр. Ординал α называется непредельным, если β (α = β + 1). Ординал α называется предельным в противном случае.

Опр. 8.2. A = B взаимнооднозначное f: A → B.

A ≤ B B0 B ( A = B0 ).A < B A ≤ B & A ≠ B .

!" #

Опр. A = B " A = B

Зам. 8.3. A ≤ B инъективное f: A → B.

!По определению. "

Опр. 8.4. A — ∞ B A (A ≠ B & A = B ) («множество A

бесконечно, если оно находится во взаимнооднозначном соотсветствии со своим собственным (т. е. не равным A) подмножеством»).

ω + 1 = ω .

Опр. 8.5. Ординал α называется кардиналом, если он наименьший из ординалов данной мощности: β < α ( β ≠ α ).

Предл. 8.6. Отношение равномощности является отношением эквивалентности.

!По определению. "

Предл. 8.7. A ≤ B — предпорядок.

!По определению. "

Теорема 8.8. (Кантора-Бернштейна)

A ≤ B & B ≤ A A = B .

! A ≤ B f: A → B; B ≤ A g: B → A. f, g инъективны.

Пусть A0 = A, A1 = g(B).

g: B → A1 — биективное (док-ть!) B = A1 . f ◦ g: A → A — инъективна.

A2 = f ◦ g(A), An+2 = f ◦ g(An).

A = A0 A1 A2 . . . Пусть Mi = Ai \ Ai+1.

Версия 1.0.0

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
06.06.2015463.87 Кб78lukyanova.doc
#
28.03.20164.49 Mб19MaltsevSciD.pdf
#
28.03.20163.12 Mб63malyshkin_ve_korneev_vd_-_parallelnoe_programmirovanie_multikompyuterov.pdf
#
06.06.2015982.43 Кб13Matematika_Filippov_S_I.pdf
#
24.09.201957.86 Кб7Materialy_dlya_konspektirovania.doc
#
28.03.2016615.18 Кб16mathlogic-s1-v1-0-0-p1.pdf
#
06.06.2015836.61 Кб839Mb_dk_mch_pm.doc
#
15.11.2019331.26 Кб10Metodichka1.doc
#
28.03.20161.23 Mб70Metodichka_Po_Lexikologii_belitsa.pdf
#
06.06.2015176.33 Кб532Microsoft Word Document.docx
#
24.09.2019186.88 Кб7Mikroekonomika_-_shpory.doc