lec_termod_kv_mech

Q1

ϕ(t1, t3)

,

праведл вое при любоì çначении=

(2)

Q2

ϕ(t2, t3)

ñèò îò

t3. Левая часть его не зави

шение,tíîèне,следовательно,самиункцииотношение ϕ(t

, t

3

/ϕ(t

, t

) (îòíî-

3

1

2

3

тож никак не зависит от измененияϕ(t , t )

ϕ(t

, t

)) в правойсироватьчас

1

3

2

3

t3. Можно ик

t(2) приметввести новуювид ункцию θ(t) = ϕ(t, t

); тогда соотношение

3

3

Q1

θ1

Сравнивая этот результат

ñ

ñîîò= íошением.

(13.1), получаем(3)

Q2

θ2

T1

θ1

тождественнабсоосëþíî-газовоготнаявнойîéтермодинамическаярепернойссоответствующейтермометра,точкиеслипрписатьтемпешкалавобо-

ихратурнойтемпературИз случаяхэтогоследушкалойтемпературестанет,чидеально

= .

(4)

T2

θ2

î è òî æ çíà

ние. Так и поступили на

е, выбрав

îäíó è òó æ

рную точку (тройная

практикчистой воды)

и положив значение температуры в этой òî÷êе строго равное

значаютсянаяэтихтерМетоìопературныхдинамическ.Такимднойобразомтойаяшкалжеиидеально.буквойбылаПоэтомуполучена-газоваядальнейшемтемпературытождественностьабсолютобо

273, 16

K

-

1.15

T .

çîìвесияосуществить. Для этого надоöèêëçàñòКарноавить систему надлежащимнему теоремуîáðà-

íà ï

. Этот.метод называется методоприменитьциклов. Поясним его

КарноП имерах. ассмотрим изически одно одное тело, состо

ÿíèå

оторого

характеризуетс двумя паðаметрами, напри-

мер,ункцияT Vтех.Внутренняяуравнениежпараметров:энергия этого тела есть однозначная

термическое

состоянияU = U (T, V ). Если известно

-

ìåйствоклетки,.клеткиИзотермы. пересассмотрим.имеющиебудуткающихадиабатыскольвплоскостиормуихугодноадиабатможнокриволинейныхмало. прОниотсемействовестиличатьсяразбиваютчетырехугольнистольизотермотгусто,плоскостьпараллечтосе--

лограммовэтиковна V, P

V, P

Возьмем один из таких беск

нечно малых параллелог

аммов

1234, изображенный на

ðèñ. 3á.

Цикл 1234 есть цикл Карно.

Обозначим темпер туру на

èñ.3

терме 12 через

T1, à íà

изотер

ме 34 через

äïåксыратурыжителей1бесконечно2будемопускатьмалоотличаютсявсюду,где

T2

друг. Такотдруга,какэтитотемин-

ситсямно

к другимпри величинамб сконечно. мàботалых

величинах

T1

T2

произведенная.вхТдятжевотновиде

гра ма численно равна приращению объемапараллелограмма

даеттерìическомприращениецесседавления12. Основаниепри повышенииж

тем ературыпри изна16-

V2

− V1

Оно равно, когда объем системы поддерживается

остоянным.

T1 − T2

(∂P/∂T )V (T1 − T2). Для работы цикла получаем

∂P

êîëèчество тепла

− V1).

Вычислим теперьA =

∂T V

· (T1

− T2)(V2

началу, отданное нагревате-

лем на изотерме 12. По первому

Q1

Q1 = U2 − U1 +

P (V2 − V1). На изотерме температур

постоянна и U2 − U1 =

(∂U/∂V )T (V2 − V1), ÷òî äàåò

Карно

∂U

∂V

T + P (V2 − V1).

По теореме

Q1 =

A

T1

−

T2

Подставляя сюда

найдеííûå= â

çí.ачения

Q1

ûøå

T1

∂P

ìîæåò быть получена из уравне

∂V T = T ∂T V

− P.

A è Q1, получим

частнаяПоследняяпро

(1)

∂U

∂P

зводнаяормулà è решает поставленную задачу так как

омуия состоянгазу.В

∂T V

èяэтом.Применимслучае полученное выражение к идеаль-

P = νRT /V,

→

T (∂P/∂T )V =

ò ïåðü

что он является следствием уравнения Клай

перона видим,второго начала термодинамики. Далее, из соотно-

шения CV = (∂U/∂T )V

получаем

∂V

T =

∂T ∂V = 0.

∂CV

∂ ∂U

Значит теплоемко еть

завиальногоCV

ема,1. Мольаможетид

ñ

газатолькЗАДАЧИидеальноготеплоемкостьюоттемпературыгазанезависит. от объ-

ðå

cv при температу-

ïîäTвнешнимзаключендавлепо поршнемием цилиндра, который находитс

1

P1

бтком

åзплотрениядо.Взначениянек.оторыйП верхностьмоментцилиндравнешнее.Поршеньдавлениепоршеньможетмеперемещатьíяетспровоизменяетскачäÿò-

свойкак ешениеустановитсяобъем..

P2

Отсюда

− V1) = 0, → cv(T2 − T1) + RT2

= P2V1.

cv(T2 − T1) + P2(v2

2

cp

1

γ

·

P1

→

2

P2

cvT1

+ P2V1

γ

−

1

P2

−

P1

RT2

разностояниеT 2=. Âäîïðначальногоавновесия,едыдущей= T

1 +

,

V =

.

сновак кменяютустановилосьск чкообсо-

задачезначениядавлениепослгаåçàòîãî

температуру

P1. Вычислить ок нчательные

состояние термо(T динамическ) объем (Vîãî)45газа,равновесиякогда.он снова придет в

3

3

3

2

γ

·

P2

3

P1

уравнениеT = TКлайп1 +

γ

−

1

P1

−

P2

,

V

=

RT3

.

Âçÿâ

ðîíà

P V = RT и ормулу . Майера

cp − cv = R, преобразуåм последнее выражение к виду

соотношенияЕслицессовОтсюдадавлениетемпература,видно,T = T

+

c

V (P

−

P )2

v

1

2

1

.

малыес меняетседучтов,арезулчтосянейбесконечнотемператураиüòатеобъемобоихгà

изало,адиабатическихобъемвсегдато изменяютсявозрастаетпоследнегопрона-.

3

1

cp2

·

P2

бесконечно

вел чины второго порядка. В п рвом по-

ðÿ ê

îíè

аются

неизменными. В пределе

бесконечно

äåò

ленномту ж последовательность

равновес

ûõ ñîñò ÿíèé.

ìåä

изм нении давления газ

обратномприрядке прой-

3. Какую максимальную работу можно

из систе-

получить

(

T1◦

>

мы двух тел с начальными температурами T1◦

T2◦

T2◦

втела

холод), еслильникаэти

тепловойисп льзуютсямашине?в Теплоемкостикчественагревателя

C2

C1

è

--

ешениемашинаатьмалымииметьми?.постояннымиМаксимальнойработаеттелацикламикогдапоследовательно.КакуюКарноработстановится.окончательнуюВбудетрезульповтортепловоетогда,атеяющимисяодногокогдатемпературавновесиетеплоциклабес

ñ÷èò

конечноваямеждуру будут

первоерое телотелополучаетотдает теплоту δQ1 = −C1dT1 (dT1 < 0),

âòî-

δQ2 = C2dT2. Произведенная работа равна

δA = δQ1 − δQ2.

(1)

46

δQ1

δQ2

− C1

dT1

dT2

(2)

вий,ИнтегрируяполучиìT1

=

T2 ,

T1

= C2 T2 .

ïîñëåäíåå соотношениеили

ñ ó÷åòîì íà÷альных усло-

T1 = T2

= Tà,

→ T

= T1◦ T2◦ .

C1

C2

C1

C2

Окончательная температураT T

определится= T T . условием

1

2

1◦

2◦

Максимальная работ

(C +C )

C1 C2

которую1 может2

совершить система,

A = Z

T

T

δA = −C1 Z

dT −C2 Z

dT = (C1T1+C2T2)−(C1+C2)T

T1◦

T2◦

перех

T = T2◦. Предельный

èç

выражения (3) приводитдля к неоп

еделенностиработынепосредственновида

C2

→ ∞

определенное из ормулы (3):

δQ2,

δQ1

dT1

δQ2 = T2◦

, → δA = − C1dT1

+ C1T2◦

, →

T1

T1

→ A = C1 T1◦ − T2◦ 1 + ln T2◦ .

47

T1◦

нагретого тела

A

ры,принику")гии5.постопередаетсяПоказать,.

(ΔU1 = C1(T1◦ − T2◦)

Q

Q

A

T

T

Однако величины1

−

2

=

=

1 −

2

.

(1)

A + Q2

T1

Q1

дующие обозначения:Q è A теперь отрицательны. Вве ем сле

1

−(1):

2

−

2

í é,

A′ работа, сов ршенная над

àøè

полученное′ тепло, отпереданноехолодногогоряч

′

ëî

Q

резервуму аразервуару.Тогда и Q

òåï-

1

2

A,

A′ =

−

Q′

= Q

è

Q′ =

Q

венство

. Подставим эти соотношения в ра-

−

A′

T

1 −

T

Q′

T

Отношение

=

2

→

2

=

2

.

(2)

−A′ + (−Q2′ )

T1

A′

T1

− T2

рошо, что этот коэ ициент обычно больше единицы.

При этом в помещение, где установлен холодильник, отво-

дится тепло

T1

T1

мерыВдомашнемпорядкQ =холодильникеQ′ + A′ = O′òåìпература=

морозильнойA′.

êà(3)-

2

2 T2

T1 − T2

ëêîìíàò

250 K (−23◦ C)

обменникый авоздух, температура. орячимкоторогорезервуокрестностиаромслужиттеп

A′

310 − 250

электроэнергии,

вания

T1 310

K. При этом коэ ициент преобразо-

Q2′

250

словии,

нТакимйна образомработукомпна каждыйðåссора,= джоульприходится= 4 17.

затрачен

циклтого отКарнохолодильной.Впомещениекамерыпри

-

этомувыделится4 17чтоДжиспользуетсятепла,отня

полагая,каксредойВКОНДИЦИОНЕбыслучаевыносивочтовнукондиционеровнужно

5, 17

òренностьянаружуЫполучитьВОЗДУХАхолодильника,.Всетеïохлаждениеомещение,лообменникхлаждапревращающенасокружающейттсямпературуДж.Предтеплася-

T1 − T2 20 K è T2 295 K ( 22◦ C), находим

Q2′

T2

295 K

îòненошенияпревышауетреально

ñóùå

вующихобъясняетскдици-

онеровЗначениевоздэтогохаA′ = T1

− T2

20

K 14, 75.

òåì, ÷òî

3, температура5. Это

âíó ри кондиционера

частично

ÿ

пературыниж той, вкопомещении

создания

T2

òорая требуется. для49

ком значительноортнойтем-

грунта,

Q2′

передаваяющейт среды (íаружного воздухà,

влекая тепло

водоемов)изиокруж

собойможнокондиционеробогревать п

′

åïëîâîéQ насосвнутрь"задомпредставляетпомещениянаперед"

воздухмещениеа,установленный.Т

1

наружуперед"(3). Коэозначает,записываетсици чтонтяпередачихолодильникввидетеплавынесенсоответиз-

ствиипомещениягде "задомсормулой

,

Q1′

1

T1

пература.

жиПредположим, например= ,

÷òî=

òå

воздуха снару(4)-

A′

η

T1 − T2

Тогда250 K ( −23◦ C)

внутри поìещения 300 K ( 27◦ C).

Q1′

300

Это означает, что прè ïодаче=

â äîì

= 6.

A′

300 − 250

T1 = 300 K, а наружная T2 =

273 K, то по ормуле (4)

Q′

300 K

Таким бразом,

1

=

= 11.

A′

300 K − 273 K

ãî ïîçâîляет получ1 Джтьхимической энергии исходного горюче

азать,

мя как при сжиганèи горючего11 ·0 85 Äæèç = 9,

-

4 Дж тепла, вэнергииòî âð

получается лишь

1 Дж химической

òношениекпднепосредственного.

сжиганияВ этом смыслетопливаможно0составляет, 7 Джсктеплаоколо.Оч

0, 7/9, 4 = 0, 075

грева

7, 5 %, а кпд электрообо

.

В послед ее время активно ведется разработк и анализ различных

схем отопле ия,

использующих тепловые

насосы. Сейчас уже сот

íè èðì заняты

внедрением в практику схем отопления, использую