lec_termod_kv_mech

ψвыполнялись равенства

3

ψ1(0) = ψ2(0),

ψ2(l) = ψ3(l), ψ1′ (0) = ψ2′

(0) ψ2′

(l) = ψ3′ (l),

неизвест ые амплитудыψ íà

границах,

мы свяжем

где штрихи обозначают производную по

(8)

-

атеч тырехподстановкиравенств,.равенстваУсловияамплитудсшивки(8)выре

раженийшенияхс ормулированыпятьдля.Врезульввидесоответствующих

x

общности,

дающей на

барьер

B1, A2, B2 A3

аетсамплитудой

A1

ïà-

волны. Выбор

A1

значениеющихнапи в

1 + B1 = A2 + B2,

A2 eβl + B2 e−βl

= A3 eikl,

ik (1 − B1) = β (A2 − B2),

βl

βl

ikl

β èç(Aýòèõe

B e− ) = ikA e .

Умножим первое

2

уравнений на

3

−

2

ñложим его с четвертым. В резуль ате получим

−ik è

найдемг n = β / k = p(U◦ − ε) / ε . åøèâβlсистему уравнений (9),

A2

(n + i) − B2 (n − i) = 2i,

A2 eβl (n − i) − B e−βl (n + i) = 0,

n

i) e

B2 =

2i(172−

,

(n + i)2 e−βl − (n − i)2 eβl

Далее легко находимA =

2i(n + i) e−βl

.

2

(n + i)2 e−βl − (n − i)2 eβl

4ni

ikl

красивуюаналогиейизичесоптиêîé,óþ

интерпретацию,Приведенныепонятиеачностиввести A =результатыесли,коэ воспользовавшисьициентеполучаютотраженияe− .

3

(n + i)2 e−βl − (n − i)2 eβl

те прозр

R коэ ициен

деляетсяволн:какющей

отношениеD барьераинтенсивностей.Коэициентотраженнойотражения падаопре-

B1 2

2

етсянымиОнАналогичнодаеткакчальнымиотношениезначениекоэвероятнусловиямиинтенсивностейициентR = |îñòèпрозрачнототражения| =барьераBïðî.стишедшей.барьерачастицысквозьопределясбарьерзадан--

|A1|2

|

1|

волны

интенсивности паäàþùåé:

A 2

высокого= A . и широкого барьера,

когдаассмотрим частныйD случай= | |

3

|

3|

2

|A1|2

2

−n − i

2

(10−)n − i)2

βl 1

. Опустив в точных выражениях для

A2

è

B2

, получим

малое слагаемое

e−βl

2i

2i(n + i)

2βl

ногоследствию:ПоA барьера=ановкволноваяэксп,ормулBненциально=

e−

0

βl 1.

(10)

ункцияврешениечастицыуменьшается(6)вприводобластприприèтизмпоткважномуåíениициаль-

îò

x

0 äî l, òàê ÷ò

173

(l)

/ ψ2(0)

e−βl

является

отношение ψ2

íûìèε

, εчислу. . . можноатомов,характимåþùèõ

-

спериментсоотвч тственноN , N энергии. . . ðàâ

1

2

1

2

заполнениемЕслисти.излучение.нагретогоЭйнштЧислаизлученияуровнеййнсодопоказал,абсолютносплошнымкрасногоэнергииназываютчтосвеченияэтогоспектром,черногоэкнаселтелателтела.кàк,остямиальныепроходможнонапример,янииуровнейсвязатьзаконотчерезиз--

εлучениесмернэнергии, ε . . .

N , N . . .

1

2

1

2

холодный аз,

нах дящиеся

основном состо

атомы

газа будут перех дить в дно из возбужде ных состояний,

п глощая при

ýòîì

отоны

определенных

энергий. В случае

холодного водорода поглощаться будут отоны, соответству-

ющие серии Лаймана.

пектр излучения,пр шедш го

Åñëè

сплошной

через газ,исследоватьто нем обнаруж тñя отсутствие

ñ ýíåð

Процесс,

гиями

ε3 −ε1, ε3 −ε2

отонов

уровниε2 −ε1

-

èвдватспектрограмме.резульболеед.Отсутствиеуровнявысокиеатеакачкойоблучэнергииэнåвидергетическиения.образцатемныхсэти

веществалинийэнергиямиассмотрим.атомов,светомпроявляетсяназываетсяпривозбуждаютсякакиекотором-либонаоптической

Äëÿ

εходить2 − ε1 описаниядыскоростиеждуобразомэтимиизменения. двумячислауровнямиотоновбудут проис-

ãèåé

числоn ýíåð

~

ÿòí

сть индуцированногоза счет поглощения Эйнштейн ввел ве

ω = ε2

− ε1

öåññòîì,в поглощения

единицу времени приB. Полноеэтомравно прî-

процессотдаваявнешнихнекоторыйАназываетсяизбыточнуювоздействий,нахпромежутокдясь

åíвиспускаеиномсост(илиспîсостоянии,яниентанно,спонтамîсмупроизвольнымнизшейбезотонуможеткакихэнергией,.Такой-черезлибо)из-.

спонтаннымвозбуждэперейтиергиюврем

nN1B

лучением. Чем больше вероятность

анных перех дов,

тем меньше среднее время жизни атома в

возбужденном со

ниястоянииэнергией,связанная.СущесотвуетспонтаннымвероятностьпереходомA спонтанногоатома из состоянияизлуче-

в состояние с энергией

ñпонтанногобудетравноизлучения в

диницу времени. ЧислосогласнотакихЭйнштейактов-

íó

ε2

ε1

, т. . пропорционально

N2

числу атомов

в состоянии с

ýí ãèåé

AN2

дельныхио овечествуетовойпеðнекогерентноехотоновобластяхдыизлучениевзаимноимелиспектра.Дослучайныевнеèíразсвязаны,былоракрасной,аботкнекогерентно,значенияпоэтомулазеравидимойотносивсеспондо.еи--.

ступноеанноельтраазыСпонтанныеотизлучени

ε2

тельно друг друга.

процессами спонт нного из

Согласно Эйнштейну наряду

л чения и поглощения имеет место процесс, называемый вы-

íóжденным (или

) излучением. Допустим,

что атом находитсяиндуцированнымвозбужденном состоянии

εm и может

178

ε2 − ε1

~ω =

чения

, то существует вероятностьятностидуцированного излу-

поглощенияB (в точности равная

индуц3

излучения в Bединицу);акимвремениобразомбудетчислоравноактов

ированн го

ционально числу

nN2B, т. е. пропор-

уже имеющих

ÿ N2

ат мов состоянии с энергией

ε2

и числу

отонов с энергией

ω = ε2 − ε1

В состоя ии

равновесия число

~

перехуровнямидовмежду. уровнями

ε2 è ε1 ðàâíо числу переходов между

ε1 ε2, ò. å.

энергиейЭто означает, что вBnNсостоянии= AN р+вновесияBnN . число отонов с

1

2

2

~

= ε2 − ε1

(а следовательно, плотность

ïðè

частоте

энергии

ω

ω) должно равняться

A/B

Темпера ур ая зависимостьn =

от ошения.

(1)

(N1/N2) −

1

Больцманом:

весных сосòояний была у

ановлена

N1/N2

для равно-

~ω/kT

A/B

доотоновгипотезынедавалбыл ЭйнштейнаполученясногоистолкПлан179закованиям ра(см.числителя2.4.4)вновесног. Однакраспределео в ормувыводле-

ПланканияЕще

N2

= N1e−

→

n = e~ω/kT − 1

.

(2)

ния вероятностей спо танных

индуцированных перех дов.

В процесс вынужденного излучения вовлечены два отона:

первичный отон,

испускание излучения воз

бужденным атомом,вызывающийвторичный отон, испущенный ато-

ìîì.

енное

Эйнштейн и Дирак показали, что

излучение-

(вторичные отоны)

ждественно

íèþ

отонам): оно имеетвынуждающемуакие ч стоту, азу,

поляризацию(первичнымнаправление распространения, как

вынуж-

дающее излучение. Следовательно, вынужденное

строго когере тно с вынуждающим излучением, тизлучение. . испу-

щенный отон неотличим от

падающего на атом.

Испущенные отоны, двигаясь вотона,дном нап авлении

встре-

чая другие возбужденные атомы, стимулируют дальнейшие

индуцированные перех ды, и число то

добных

отонов может лавинообр зно расти. Нождественнопонаряду вынуж

денным излучением протека т конкурирующ й процесс по

глощение.

äëÿ óñèëåния падающего

íåîá

х димо, чт бы число актов вынужденнго

î

íîâ (îíî

Поэтомупорциона

возбужденизлученияых сос

яний) превышало чис

ьноактов п глощения отонов (оно прòî-

заселенностизаселенностиосн вных состояний). В системе

ат мов, нах дящейся в термодинамическом равновесии, по

порциональног щение падающего излучения (как это следу из орму-

лы (2)) будет

над вынужденным, т.ет. падающее

излучение, п

преобладатьх дя через веществ нах

я о в термоди-

намическом равновесии, будет ослаблятьс .

å, íåîá

Чтобы среда у

падающее надящеесизлуче

ходимо

сственносиливалаздать

состояние систе-