lec_termod_kv_mech

существенноширинîòлична

нуля, тойизямы(1). следует,Таккак чтовеличина

k

−U◦

2a

U◦

óíà

потенциальнойпотенциальнойза ну обращаетсяямы,.веэнергиибесконечность.наинтервалепринять.В ееэтомзначениеслучае äобднео

на "стенках" ямы (при

−a < x < +a. Тогда

певать разрыв от

x = ±a) ункция U (x) будет претер-

область, где

εрассмотретьнепопасòü â

уравнения ШредингU (x) = ±ðà∞тольк.Достаточновинтервале

решение

чтоВнутриведетинтервалакупрощåнию задачи.

−a < x < +a,

принимает вид

−a < x < +a U (x) = 0 и уравнение (3)

d2ψ

+ 162k ψ = 0,

(6)

dx2

достаточно ограничитсуравнения положительными2 2 значениями

k. Îá-

щее решение

k = 2mε / ~

(6) имеет вид

причем на "стенках"ψ = Aÿìûcos (kx) + B sin (kx),

няться нулю. Это дает

x = ±a значение ψ должно рав-

Возможностьψ = B sin (kx)

ka = 2(π / 2), 4(π / 2), 6(π / 2), . . .

как тогда

ka = 0 во втором случае исключается, так

случаях ψ = 0, что не имеет изического

ысла. В обоих

k = nπ / 2a, так что при любом целом n

~2

2

~2π2

2

энергия,163

необх димость которой

~2π2 / (8ma2). Ýòо нулевая

Отсюда видно,ε =

÷òîkэнергия=

квантуетсяn n = 1., Ïðè2, 3, . . . .

2m

8ma2

ло энергети еских

óðîâ

é

бесконечно. ТакU◦как= +значение∞ чис-

n = 0 исключае

ÿ,

òî

энергия наинизшего

уровня равна

ются из условия нормировки

A B

a

|ψ|2dx = 1. Тогда получается

R

−a

1

nπx

è

ψ = √

cos

при нечетных n

2a

a

1

nπx

потенцисловий:ное-

наальнойнамиОбратимвсякойрешениеямеψ = √a

sin

2a

n.

невнимандляудовлетворяетхностиèåчастицынаразртоûâàвобстоятельство,одномубесконечнопотенциальнойпричетныхизграничныхлубокойчтоункцииполуч

повер

а к ее предельн му з

ψ(x)

ïðè î÷å

большом значении

U◦

,

ачению при

-

татывиданализаглубиныодномерной.ние,дляпринимаясимметричслучая,прико

конечной

èìå

основэнергияямы"ыерезуль

U◦

→ ∞

нойгда4.потенциальная"потенциальнойПриведем

кеазличиечастицасостоитнеможетвтом,проникатьчтосогласнов область ой механиε < 0-.

ятностью,.возможныхеемжнозабыстрозависитбнаружитьчкационарныхмиубывающейповорота,этомсостоянийстогдарасстояниемпространстве,какиликвантовойэнергетиотхотя,точек.еи-.

поворотасмеханикев веропространствоЧисло

U > ε

ческих уровней

от вида потенциальной ункции

U = k x2, ãäå k > 0 постоянная.:

2

d2ψ

2m

k

2

(òàê

ì ñëó÷àå

(ε − 2 x

)ψ = 0

какзаписыватданноüdx2 +

~2

можно

уравнениеψ166зависитполныхотдиоднойеренциалах)переменной,.

ются ормулой:

(n = 0, 1, 2, . . .).

стотойстояниях εn = ~ω n + 2

излучение. Казалосьсо всевозможнымибы,чтов

допустимо

ω

кратнымиквантовомчастотамислучае

квантовоевойсамоммеханикеделечислоэтоговыводитснеосцилляторапроисхправилодит. Вотборпоследовательной,согласнокоторомуNквантоω. Íà-

отона может менятьсn

тольк

принаединицу:поглощении и излучении

квантовогоотонасднэтîãîбращаетсосцилляторапуоâиланяквантунаотборанульдругойотличие.вероятностьсизлучениемклассичеперехоили--

поглощениемдаПриЭнергияосцилляторанесоблюдении

n = ±1.

ского

может быть люб й,

åòñÿ â ñî

ветствии с

приведенным выше соотн шением. В отличие îò

классиче-

ской ситуации минимальная энергия осциллятора не равна

принимаетопределяемыечастицазначениеможетусловиемзахдить за."классические точки

нулю,повКвантоваярот

ε◦ = ~ω / 2

произвольнойэнергия частицыормывчастполемаксимальнымимеетвид. сть

x значениемПу

барьера

ресует поведение

цы, движущейся из

U◦. Íàñ èí

òåльном направлении ос

−∞ в положи-

мы собир емся рассмотреть, энергия частицы считается за

ранее задàнной, и зависимости от ее значения будем опре-

делять поведение волновой у кции.

"класси-

ассмотрим вначале поведение в заданном

частица, то частицадойдет пройлишь-

äоетнекоторойнадбарьеромточки.В противном случае U◦

âû.гляд.частСквозьЗатемèцы,тсовершеннобарьерчастицаподчиняющейся(точкиклассическаяначнетповорота),иначе.движениеТак,законамчастицапотерприявэнергииквантовойпройтиобратнприэтчаîìíå-

механики,можетнаправлениивсюПоведениескорость.

x◦

стицы, пре шающей высоту барьера, есть от

îò íóëÿ

протоны благодар

туннельному э екту проникали в ядро

вызывали ядерную акцию.

l

э ергия наx◦ (òî÷ê

àöèþ,2. Длявыбрполученияв потенциальрешенияую в ункциюявном виде упростим ситу

угольного àрьера с конечной высотой

U x) в виде прямо-

. Поместим потенциальнаячалокоординат точку

U◦ и протяженностью

интервàлеповорота). В

этом случае

равна

0 ≤ x ≤ l

Ограничимс

случаем, когда энергия частицы

ε < U◦

цаемыйронукажем,ляВыражения,баве

ðчтодляьераятностьвклассич(пройднашейотносящиесятого,åзадаческой"сквозьчточастицычастицаполучитскобластибарьер"),.окажпространстваконечнаяабетсолютнопоотличнаядругуюбарьером,донепрони. стоПоот---

ра, будем помечать индексом 1, к области, занятой

индексом 2, к

çà áàрьером индексом 3. Уравнение

Шредингера в

обласòèях 1 и 3 имеет вид

~2

d2ψ

(x)

а в области 2

1,3

+ εψ1,3(x) = 0,

(1)

2m

dx2

~2 d2ψ (x)

2

Используя стандар

òíûå îбозначения

(2)

2m

dx2

+ (ε − U◦)ψ2(x) = 0.

k2 =

2mε

è β2 =

2m(U◦ − ε)

~2

170

~2