2.3.Параллельные машины.Приближенное решение

FPTAS для задачи Pm||Cmax Списочные расписания

Пусть x rx1 pk; : : : ; xms P Vk è x rx1; : : : ; xms P Vk 1. Ïî ÏÈ äëÿ x â Vk1 1 есть хорошее приближение y :

Таким образом, в Vk1 нашлось приближение для x P Vk.

FPTAS для задачи Pm||Cmax Списочные расписания

Оценим точность. Для оптимального кортежа t P Vn â Vn1 существует приближение t1 :

FPTAS для задачи Pm||Cmax Списочные расписания

Замечание 1

При фиксированном m Алгоритм 2 полиномиален по n и 1{". Однако, при увеличении m трудоемкость стремительно растет. По всей видимости, существенно лучшую (полином. по m и ") схему придумать нельзя: P ||Cmax

Замечание 2

Алгоритм 2 строит

2-приближ. решение с труд. Opnp1 2nqm lnmpnpmaxqq,

3/2-приближ. решение с труд. Opnp1 4nqm lnmpnpmaxqq,

4/3-приближ. решение с труд. Opnp1 6nqm lnmpnpmaxqq. Далее покажем, что

2-приближенное решение можно построить за Opnq,

3/2-приближенное решение можно построить за Opmnq,

4/3-приближенное решение можно построить за Opn ln nq.

Списочные расписания

Algorithm 3 (Построение списочного расписания для P ||Cmax)

Выбрать L tj1; : : : ; jnu список (упоряд.) индексов работ. Положить ti 0 äëÿ âñåõ i 1; : : : ; m.

for k 1 Ñ n do

в момент t min ti ti íàçí. Jjk на свободную Mi ,

i

положить ti t pjk .

Определение 1

Расписание, полученное по списку L, будем обозначать черезL и называть списочным L-расписанием.

Замечание 3

Заметим, что оптимальное оптимальное расписание для задачи P pmq||Cmax является списочным, но найти соответствующий список за полином, по всей видимости, невозможно.

Определение 2

LP T -упорядочением (Longest Processing Times First) назовем перестановку (список) работ по невозрастанию их длин:

pp1q ¥ pp2q ¥ ¥ ppnq:

Списочное расписание, построенное по этому списку, обозначим через LP T .

Лемма 1

Пусть I пример задачи P ||Cmax, в котором n ¤ 2m, и существует оптимальное расписание OP T , где на каждой машине выполняется не более двух работ. Тогда расписаниеLP T оптимально. То есть,

Cmaxp LP T q Cmaxp OP T q:

Доказательство. Полагаем, что n 2m, и на каждой машине

в оптимальном расписании в точности две работы (иначе добавим несколько работ длины 0). Преобразуем OP T áåç изменения критерия к виду, который может быть получен с помощью LP T .

Рассмотрим три преобразования расписания.

Поменяем местами работы J2 è J4 (c).

Очевидно, эти преобразования не увеличивают Cmax. Ñ èõ помощью можно привести расписание к следующему виду:

на каждой машине длина работы, выполняющейся первой, не меньше длины работы, выполняющейся второй;

длины работ, выполняющихся на M1; : : : ; Mm, образуют невозрастающую последовательность, а длины работ, выполняющихся вторыми неубывающую.

Полученное расписание имеет ту же структуру, что из LP T , è его длина равна Cmaxp OP T q.

Теорема 2

Пусть OP T опт. расп. для задачи P ||Cmax. Верна оценка:

Расписание LP T строится с трудоемкостью Opn ln nq.

Доказательство. От противного. Предположим, существуют примеры задачи, в которых оценка нарушается. Выберем среди них пример с минимальным числом работ. Обозначим его через I. Полагаем, что работы перенумерованы в соответствии

ñ LP T .

Докажем следующее свойство: Самая короткая работа (Jn) â примере I начинается и завершается последней.