3_Моделирование
.pdf
Линеаризация кусочно-линейной функции
Линеаризация кусочно-линейной функции
Требуется
Смоделировать поиск минимума кусочно-линейной функции f(x), ïðè a0 x ak :
|
8 b0 + c0(x |
|
a0); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
åñëè a0 < x |
|
|
a1; |
|||||||
f(x) = |
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1); |
|
åñëè x = a0 |
; |
|
|
|||||
> b0 + c0(a1 a0) + b1 + c1(x |
|
|
åñëè a1 < x a2; |
|||||||||||||||||||||
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< . |
i=1 [bi |
|
|
+ ci |
|
|
(ai |
|
ai |
|
1)] + bk |
|
|
+ck |
|
1(x |
|
ak |
|
1); иначе. |
|||
|
> |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> Pk 1
:
Кононова П. А. (ФИТ НГУ) |
Теория принятия решений. Лекция 3. |
24 февраля 2016 г. |
12 / 26 |
Линеаризация кусочно-линейной функции
Линеаризация кусочно-линейной функции
Переменные: |
(0; |
иначеx > ai |
|
yi = |
; i = 0; : : : ; k 1: |
||
|
1; |
åñëè |
|
zi отступ от границы ai äî x, z 0. Ò.å. åñëè x 2 (ai; ai+1], òî zi = x ai.
Кононова П. А. (ФИТ НГУ) |
Теория принятия решений. Лекция 3. |
24 февраля 2016 г. |
13 / 26 |
Линеаризация кусочно-линейной функции
Линеаризация кусочно-линейной функции
Математическая модель |
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Xi |
|
+ cizi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
min |
biyi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a1 a0)y1 z0 (a1 a0)y0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
(a2 a1)y2 z1 (a2 a1)y1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
: : : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 zk 1 (ak ak 1)yk 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xi |
|
+ a0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x = |
zi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yi yi+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Теория |
|
2 f |
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x > 0; zi |
> 0; yi |
|
0; 1 |
|
; i = 0; : : : |
; (k |
|
|
|
1): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Кононова П. А. (ФИТ НГУ) |
|
принятия решений. Лекция 3. |
|
|
24 февраля 2016 г. 14 / 26 |
|
||||||||||
Линеаризация кусочно-линейной функции
Задача о телефоне
За первые 140 минут разговоров цена 50 лир за минуту. С 141 по 220 минуту цена 207 лир за минуту. За остальные минуты цена 127 лир. Представить линейную функцию, вычисляющую расходы за x минут
разговоров.
Кононова П. А. (ФИТ НГУ) |
Теория принятия решений. Лекция 3. |
24 февраля 2016 г. |
15 / 26 |
Симметрия в математических моделях
Симметрия в математических моделях
Требуется
разбить конечное множество объектов I íà p групп. Каждый объект может попасть только в одну группу.
Кононова П. А. (ФИТ НГУ) |
Теория принятия решений. Лекция 3. |
24 февраля 2016 г. |
16 / 26 |
Симметрия в математических моделях
Симметрия в математических моделях
Переменные: |
|
||
xik = |
(0; |
иначе |
; i 2 I; k = 1; : : : ; p: |
|
1; |
если объект i попадает в группу k |
|
Ограничения:
каждый объект должен попасть только в одну группу:
p
X
xik = 1; 8i 2 I
k=1
Кононова П. А. (ФИТ НГУ) |
Теория принятия решений. Лекция 3. |
24 февраля 2016 г. |
17 / 26 |
Симметрия в математических моделях
Симметрия в математических моделях
В чем же недостаток?
I = fa; b; c; dg, p = 3
Возможное разбиение fag, fb; dg, fcg Но эти решения эквивалентны:
группа 1 |
группа 2 |
группа 3 |
|
|
|
fb; dg |
fag |
fcg |
fb; dg |
fcg |
fag |
fag |
fb; dg |
fcg |
fag |
fcg |
fb; dg |
fcg |
fb; dg |
fag |
fcg |
fag |
fb; dg |
Каждому разбиению множества объектов соответствует p!
эквивалентных решений.
Нужно избавиться от перестановочной симметрии!
Кононова П. А. (ФИТ НГУ) |
Теория принятия решений. Лекция 3. |
24 февраля 2016 г. |
18 / 26 |
Симметрия в математических моделях
Симметрия в математических моделях
Выход: факторизовать множество разбиений
Пронумеровать элементы множества I.
Кононова П. А. (ФИТ НГУ) |
Теория принятия решений. Лекция 3. |
24 февраля 2016 г. |
19 / 26 |
Симметрия в математических моделях
Симметрия в математических моделях
Выход: факторизовать множество разбиений
Пронумеровать элементы множества I.
Среди множества эквивалентных решений выбрать одно следующим образом:
Кононова П. А. (ФИТ НГУ) |
Теория принятия решений. Лекция 3. |
24 февраля 2016 г. |
19 / 26 |
Симметрия в математических моделях
Симметрия в математических моделях
Выход: факторизовать множество разбиений
Пронумеровать элементы множества I.
Среди множества эквивалентных решений выбрать одно следующим образом:
в каждой группе найти объект с наименьшим номером,
Кононова П. А. (ФИТ НГУ) |
Теория принятия решений. Лекция 3. |
24 февраля 2016 г. |
19 / 26 |