3.8. Співставлення кінцевих автоматів

Нехай S=(As, Qs, Vs, ss) і Т=(Aт, Qт, Vт, ss) - два автомати. Трійка відображення f: Аs  Aт, g: QsQт, h: VsVт називається гомоморфізмом автомата S в автомат Т, якщо для будь-яких а Аs, qQs, vVs виконані умови:

т ( g(q), f(a) ) = gs (q, a) 

т ( g(q), f(a) ) = h s (q, a) 

Автомат Т називається гомоморфним автомату S. Якщо всі три відображення сюръективны, те це двійка називається гомоморфізмом S на Т. Якщо, крім того, ці три відображення взаємно однозначні, те вони називаються ізоморфізмом S на Т; автомати, для яких існує ізоморфізм, називаються ізоморфними. Ясно, що потужності відповідних алфавітів ізоморфних автоматів повинні бути однаковими.

Поняття ізоморфізму має для автоматів має такий зміст: автомати S і Т ізоморфні, якщо входи, виходи і стани S можна перейменувати так, що таблиця переходів автомата S перетвориться в таблицю переходів автомата Т.

Приклад. Візьмемо в якості S автономний автомат, заданий у таблиці 3.10, а в якості Т - автономний автомат, граф якого наведений на рис. 3.10. Існує гомоморфизм S у Т.

Таблиця 3.10 - Завдання автомата S

q	1 2 3 4 5 6 7 8 9
a	3/0 4/0 4/0 7/0 4/2 5/0 6/1 9/0 9/1

w w

v v v v

v

Рис. 3.10 - Автомат Т

Ніякий стан S не відобразився в r₅; зауважимо, що r₅ неможливо досягти з інших станів. Це - загальне правило: якщо стан Т не входить в область значень g при гомоморфізмі, то воно повиннео бути недосяжним для будь-якого стана з цієї області, інакше порушиться умова гомоморфізма. Якщо з автомата Т стани r₅ разом із інцидентним йому ребром видалити, те одержимо новий автомат Т; описана трійка відображень є гомоморфізмом S у Т и S на Т. Як показує цей приклад, число станів і вихідних букв при гомоморфізмі може не зберігатися.

3.9. Синхронні мережі з автоматів.

Якщо автомати розглядати, як пристрої з входами і виходами, то приєднання виходів одних автоматів до входів інших дає схему, або мережу з автоматів, всі автомати якої працюють одночасно. Під станом мережі з m одночасно працюючих автоматів S₁, ..., S_m (компонент мережі) розуміється вектор (q_i1, ..., q_im), де q_ij - стан автомата S_j Тому в загальному випадку число можливих станів мережі дорівнює добутку чисел станів її складових компонент. Виникає питання, чи є мережа з автоматів автоматом; якщо так, те як одержати її опис з опису її підавтоматів?

Насамперед необхідно відзначити. що вектор - стан мережі вказує, у яких станах знаходяться компоненти мережі в деякий момент часу. Таким чином, при описі автоматних мереж - у відмінності від абстрактних автоматів - необхідно явно вводити поняття часу. Існує два основних засоби введення часу - синхронний і асинхронний. Синхронний засіб полягає в наступному. Вводиться шкала часу, що ділиться на відрізки однакової довжини (такти); межі тактів називаються моментами автоматного часу і нумеруються натуральними числами, починаючи з нуля. Довжина такту приймається за одиницю часу. Вхідне слово (послідовність букв) розглядається як часова послідовність сигналів або імпульсів (кожний сигнал відповідає букві); інтервал між сусідніми імпульсами дорівнює в точності довжині такту. Отже, слово довжини k займає в часу рівно k тактів. Його букви можна вважати функціями від часу: a(t) - буква, що з'явилася на вході в момент t. Автоматні функції  і  реалізуються з затримкою. Час затримки функції  дорівнює одиниці: (q(t), a(t))=q(t+1); стан q(0) визначено заздалегідь. Час затримки функції  звичайно рахується рівним нулю: (q(t), a(t))=v(t), але іноді рівним одиниці: (q(t), a(t))=v(t+1). В другому випадку повинно бути визначене v(0). Таким чином, під дією послідовності вхідних сигналів однакової довжини кожний з автоматів породжує послідовність проміжних або внутрішніх сигналів (що реалізують стани) і послідовність вихідних сигналів, причому довжини тактів цих послідовностей збігаються з довжиною кожного такту. У такий спосіб на практиці досягається така загальна синхронізація - за рахунок зовнішніх таймерів, що синхронізують, або за рахунок ідеальних часових характеристик і середовища в який вони функціонують - на даному рівні розгляду несуттєво.

Перед тим, як говорити про мережі з автоматів загального виду, розглянемо деякі основні види з'єднання автоматів.