3.4 Канонічне представлення логічних функцій

Будь-яку логічну функцію в загальному вигляді можна розкласти по одній з змінних на дві складові або на два множники в такий спосіб:

(3.1 )

рСправедливість цих розкладань можна легко встановити, підставляючи в обидві частини кожного з рівнянь два можливих значення змінної Х₁: 0 і 1. Таким чином можна розкласти по інший змінної кожну з отриманих складових (кожний множник). Наприклад:

(3.2)

Якщо цю операцію проробити для всіх змінних Х, то результатом перетворення буде вираз

При розкладанні на множники можна одержати:

У цих важливих залежностях є закономірності, які буде легше виявити, якщо ввести додаткові позначення.

Кон'юнкцію всіх аргументів функції ( із запереченням або без) будемо називати повною і позначати буквою К с відповідним індексом. Індексом у позначенні служить номер набору або двійкове число ( а також відповідне йому десяткове), отримане при заміні кожної змінної - символом 0. Наприклад, повної кон'юнкції Х₁Х₂ відповідає індекс 11 (або 3) і позначення К₃, а повної кон'юнкції - індекс 010 (або 2) і позначення К₂ і т.д.

Диз'юнкцію всіх аргументів функції (із запереченням або без) будемо називати повною і позначати буквою D з індексом. Індекс тут визначається інакше, ніж для повної кон'юнкції: шляхом заміни змінної на 0, і- на 1. Тому повної диз'юнкціївідповідає індекс 00 (або 0) і позначення D₀, а повної диз'юнкції - індекс 101 (або 5) і позначення D₅.

Символи К_i D_i однозначно визначають повну кон'юнкцію і повну диз'юнкцію, якщо відомо число змінних n.

Значення функції для конкретних наборів значень аргументів зручно позначати символом  з індексом у вигляді десяткового числа, що відповідає двійковому числу, обумовленому значеннями аргументів, наприклад:

Вводячи позначення, формули (3.1) і (3.2) для функції двох перемінних можна записати у вигляді:

Аналогічно для n змінних

(3.3 )

(3.4 )

Тут символ  позначає логічну суму (диз'юнкцію), а  - логічний добуток (кон'юнкцію).

Останній вираз дозволяє легко перейти від таблиці істинності логічної функції до аналітичного представлення. Оскільки 0  К_i =0 і 1 К_i=К_i для представлення функції у вигляді (3.3) потрібно виписати диз'юнкцію тих К_i, для котрих _i=1. Для логічної функції, наведеної в табл. 3.1 це буде вираз

Останню формулу можна одержати безпосередньо з таблиці істинності, фіксуючи увагу тільки на тих наборах, для яких У=1, і замінюючи в них Х_i=0 змінної , а Х_i=1 - змінної . Отримані в такий спосіб повні кон'юнкції потрібно об'єднати знаком. Описаний варіант аналітичного представлення функції має назву досконалої диз'юнктивної нормальної форми (ДДНФ). З засобу її побудови випливає, що кожна функція може мати лише єдине представлення такого виду.

При пошуку представлення функції виду (3.4) потрібно враховувати, що

Тому у відповідному виразі потрібно лишити кон'юнкцію тільки тих D_i, для котрих _i = 0. Для приклада, що розглядається це вираження цей вираз має вигляд:

Останню формулу можна одержати безпосередньо з таблиці істинності, обираючи з неї тільки ті набори, для яких У = 0, і замінюючи в них ті набори, для яких У = 0, і замінюючи в них Х_i = 0 змінної Х_i, а Хi = 1 - змінної . Отримані повні диз'юнкції з'єднуються знаками кон'юнкції. Такий вигляд представлення зветьсядосконалою кон'юнктивною нормальною формою (ДКНФ). Для кожної функції він також єдиний.