3.2. Приклади логічних функцій
Логічних функцій однієї змінної усього чотири. Вони наведені в таблиці 3.2.
Таблиця 3.2 - Логічні функції однієї змінної
-
x
0
1
2
3
0
0
0
1
1
1
0
1
0
1
Функції
0
і 3
- константи 0 і 1 відповідно; їх значення
не залежать від значення змінної, і ,
отже, змінна x для них несуттєва. Функція
1
повторює x. Функція 2
називається "запереченням" або
функцією "НЕ" і позначається
або
.
Її значення протилежне значенню x.
Логічних функцій двох змінних - 16. Вони наведені в таблиці 3.3.
Таблиця 3.3 - Логічні функції двох змінних
|
x1 x2 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
|
15 |
|
0 0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
0 1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
1 0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
|
1 1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
Функції 0 і 15 константи 0 і 1, тобто функції з двома несуттєвими змінними. Відзначимо, що ці функції відрізняються від наведених у таблиці 3.2. Там вони унарні, а тут бінарні операції на В.
Функція
1
називається кон'юнкцією
х1
і х2;
її позначають:
або
&
.В
усіх випадках знак кон'юнкції аналогічно
знаку множення часто опускають і пишуть
х1
х2
. Вона дорівнює 1, тільки якщо х1
і х2
рівні 1, тому її часто називають функцією
И. Ще одне її назва - "логічне множення",
оскільки її таблиця дійсно збігається
з таблицею звичайного множення для
чисел 0 і 1.
Функція
7
називається диз'юнкцією
х1
і х2;
її позначають:
або
.
Вона дорівнює 1, якщо х1
або х2
дорівнює 1 ("або" тут розуміється
в неподільному змісті - хоча б одне з
двох). Тому її часто називають функцією
АБО.
Функція 6 - це додавання по модулі 2. Її позначення х1х2. Вона дорівнює 1, коли значення її аргументів різноманітні, і дорівнює 0, коли вони рівні.
Інші функції мають назву: 13 - імплікація: х1х2; 8 - стрілка Пірса: х1х2; 14 - штрих Шеффера: х1 х2.
Інші функції спеціальних назв не мають і виражаються через перераховані вище функції.
3.3 Зв'язок логічних функцій і функціональних схем
Побудова комп'ютерних обчислювальних систем безпосередньо пов'язана з використанням різноманітних логічних функцій. З усіх перерахованих логічних функцій апаратно реалізовані в різноманітних серіях мікросхем різного рівня інтеграції логічні операції "И", "АБО", "НЕ", а також "И - НЕ" і "АБО - НЕ".
Практична реалізація логічних функцій на апаратному рівні провадиться у відповідності з такою послідовністю:
<логічна функція> <функціональна схема> <принципова схема>.
Функціональні блоки логічних схем будуть надалі використані при розробці схем кінцевих автоматів. Розглянемо представлення основних логічних функцій за допомогою функціональних блоків (табл.3.4).
Таблиця 3.4 - Представлення логічних функцій
-
№ п/п
Функція
Функціональний блок
Приклад
1
І
Х 1
... У
Х n
У = Х1Х2 ... Хn
1
2
АБО
Х 1
... У
Х n
У = Х1Х2 ... Хn
1
3
НЕ
Х У
5
І - НЕ
Х 1
... У
Х n
1
6
АБО - НЕ
Х 1
... У
Х n
Інші логічні функції, подані в таблиці 3.3, можуть бути виражені через приведений набір найпростіших функцій.
Розглянемо приклад представлення деякої логічної функції за допомогою функціональної схеми. Нехай задана логічна функція:
.
Для цієї логічної функції (знаки логічного множення опущена) функціональна схема буде мати вигляд, показаний на рис. 3.1.
У прикладі вихідний сигнал У формується трьома вхідними сигналами Х1, Х 2 і Х3. Така функціональна схема одержала назву комбінаційної схеми.
Звичайно формування логічної функції при проектуванні логічного пристрою передує розробка словесного опису необхідної функції. Прикладом правильного опису може служити таке завдання:
"Спроектувати пристрій з елементів И, АБО, НЕ з трьома входами Х1, Х2, Х3 на виході якого з'являється сигнал У = 1 у випадку, якщо на вхід пристрою подається не-
У
х1
х2
х3
х3
Рис. 3.1 - Приклад комбінаційної схеми
парне двійкове число або число, кратне числу три (Х3 відповідає двійковому розряду з меншою вагою)".