НГА Украины Методические материалы Кафедра СА и У Лекции по основам дискретной математики 52

Розділ 3. Основи теорії кінцевих автоматів

3.1. Логічні функції

У цьому розділі дискретної математики особливу роль будуть грати двоелементні множини В і двійкові змінні, що приймають значення з В. Його елементи часто позначають 0 і 1, проте вони не є числами в звичайному значенні. Найбільше поширена інтерпретація двійкових змінних - логічна: "так" - "ні", "істинно"(І) і "хибно" (Х). У контексті, що містить одночасно логічного й арифметичного величини, ця інтерпретація звичайно фіксується явно: так у мовах програмування вводиться спеціальний тип змінної - логічна змінна, значення якої позначається true і false.

Алгебра, утворена множиною В разом із усіма можливими операціями на ньому, називається алгеброю логіки. Логічною функцією від n змінних називається n - арна операція на В. Таким чином, логічна функція f(x₁, ..., x_n) - це функція, що приймає значення 0, 1. Множина всіх логічних функцій позначається Р₂, множина всіх логічних функцій n змінних - Р₂(n).

Алгебра, утворена k-елементною множиною В разом із всіма операціями на ній, називають алгеброю k-значної логіки, а n - арні операції на k - елементній множині називаються k - значними логічними функціями n змінних; множина всіх k - значних логічних функцій позначається Р_k.

Надалі будемо розглядати тільки логічні функції з Р₂. Приклад такої функції показаний у табл. 3.1.

Таблиця 3.1 - Приклад логічної функції

x1	0	0	0	0	1	1	1	1
x2	0	0	1	1	0	0	1	1
x3	0	1	0	1	0	1	0	1
f	0	1	0	0	1	1	0	0

Будь яка логічна функція n - змінних може бути задана таблицею, у лівій (верхній) частини якої перераховані усе 2n наборів значень змінних, а в правій частині - значення функцій на цих наборах. Наприклад, таблиця 3.1 задає функцію трьох змінних. У цій таблиці набори розташовані в лексико - графічному порядку, що збігається з порядком зростання наборів, що розглядаються як двійкові числа. Цим упорядкуванням будемо користуватися і надалі.

При будь-якому фіксованому упорядкованому наборі логічна функція n змінних цілком визначається вектор - стовпчиком значень функції, тобто 2ⁿ елементами. Змінна х_i у функції f(x) називається несуттєвої, якщо зміна її значень не змінює значення f(x). У цьому випадку функція f(x) по суті залежить від n-1 змінних, тобто являє собою нову функцію g(x) від n - 1 змінних. Говорять, що функція g(x) отримана з функції f(x) шляхом видалення фіктивної змінної.

Зміст видалення фіктивних змінних очевидний, оскільки вони не впливають на значення функції і є з цього погляду зайвими. Проте іноді буває корисно вводити фіктивні змінні. Завдяки такому введенню усяку функцію n змінних можна зробити функцією будь-якого великого числа змінних. Тому будь-яку кінцеву сукупність функцій можна вважати залежною від однієї множини змінних.