5.3 Сочетания с повторениями.

Сначала на примере.

В кондитерском магазине продавались 4 сорта пирожных: наполеоны, эклеры, песочные и картошка. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?

Решение: Положим пирожные в коробку, а чтобы они не перепутались, разделим их картонными разделителями. Нужно 3 разделителя. Обозначения - 1 (картонки-разделители) и 0 – пирожные.

Примерная покупка: 0001010010 – три наполеона, 1 эклер, 2 песочных и 1 картошка.

Итак два класса объектов 0 (7 штук) и 1 (3 штуки) – покупка – 10 объектов.

Два способа рассуждения: (1) задача сводится к выбору мест для 7 пирожных (или для 3 разделителей) среди 10 объектов

(2) другой способ рассуждения (эквивалентный) – надо разбить 10 мест на две группы – для 7 пирожных и 3 разделителей.

В чем особенность: объекты повторяются, причем один эклер на вкус неотличим от другого. Отсюда название – сочетания с повторениями Можно представлять себе, что пирожные непрерывно пекут, так что они не переводятся, сколько ни ешь. Это совсем другая ситуация, чем в обычных сочетаниях!!!

Пусть заданы два числа: k – число выбираемых элементов, и n – число типов элементов, из которых производится выбор. Число

k-сочетаний с повторениями из элементов n типов равно числу способов выбора мест для собственно выбираемых элементов различных классов, или что то же – для разделителей между ними

Итак, основная формула для запоминания

Сочетания с повторениями с дополнительными условиями.

Сколько существует сочетания с повторениями таких, что в них обязательно входят элементы r фиксированных типов?

Сразу возьмем по одному элементу указанного типа, и тогда уже сразу окажутся заняты r мест. Остальные k–r мест можно заполнять элементами прежних n типов.

В частности, пусть число типов n < k – числа выбранных элементов. Сколько существует сочетаний с повторениями, так что представлены хотя бы по одному все типы элементов?

Пример (эта задача задавалась на дом прошлый раз) r шаров размещаются по n ящикам. Сколько существует способов разместить их так, что пустых ящиков нет (r>n)?

РЕШЕНИЕ: пусть для разнообразия нолики – шарики, а единички – стенки ящиков (потребуется n+1 единичек). Две единички сразу кладем по краям. Теперь положим между ними шарики-нолики, а далее нужно заполнить некоторые промежутки между ними так, чтобы между любыми двумя ноликами находилась не более одной единички. Значит из r–1 промежутков между шариками нужно выбрать места для n+1–2=n–1 единичек. Всего таких способов

.

Метод координат. Подсчет числа путей.

Рассмотрим координатную сетку – двигаясь по ней помечаем каждый “перекресток” – производим суммирование числа возможных путей, ведущих на каждый перекресток

Получаем известный треугольник Паскаля

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

... … … … … ... ....

(здесь, например, 3=2+1, 6=3+3)

Поскольку на перекресток k на уровне n (считая сверху и принимая верхний уровень за нулевой) ведет

путей (число способов выбрать k движений направо вниз из общего числа n движений вниз), то свойство суммирования путей на перекрестке можно записать как

.

По прежнему остается справедливым свойство симметрии

5.4. Бином Ньютона. Размещения с повторениями. Полиномиальная теорема. Метод классификации. Комбинаторные задачи с ограничениями.

Бином Ньютона

Следствие (a=b=1)

Возможные интерпретации этого свойства см. дальше.

Запишем формулу бинома как функцию от x:

Эта формула порождает (как бы производит) коэффициенты, используемые для комбинаторных расчетов. Поэтому она называется производящей функцией. Для каждого типа комбинаторных задач можно придумать свою производящую функцию. Дальше эта тема будет развита, и мы увидим что с помощью производящей функции можно просто вычислять комбинаторные факты и формулы.

Размещения с повторениями.

В общем-то, это старая песня на новый лад. Речь идет о размещении неразличимых элементов. Понятно, что это просто разбиение на группы (там как раз элементы, вошедшие в определенную группу, становились неразличимы).

Удобное обозначение для коэффициентов, выражающих число способов разбиения на группы:

Новая интерпретация сочетаний как размещений с повторениями

– белые и черные ангелы рассаживаются для ангельского пения – на качестве пения это не сказывается, а только на то, кто с кем болтает во время песнопения. Ясно, что рассадить ангелов можно, просто указав места для белых ангелов.

Полиномиальная теорема

Сначала обобщим на три слагаемых

откуда

Вообще

откуда

Задача. Придумайте что-то вроде треугольника Паскаля для полиномиальной теоремы (для n=3).

Метод классификации

Новое доказательство свойства треугольника Паскаля

классификацией по вхождению какого-либо элемента, например x: все выборки, перечисляемые в числе сочетаний из n по k состоят из тех, что содержат элемент x (тогда остается набрать остальные выборки из остальных n-1 элементов по k-1), плюс тех, что не содержат x (для этого из остальных n-1 элементов надо сделать выбору из k элементов).

Новое чисто комбинаторное доказательство свойства

– классификация по числу белых ангелов, вошедших в хор ангелов (среди которых могут быть белые и черные).

Интерпретация для подмножеств: справа стоит число всех подмножеств множества из n элементов. Слева стоят подмножества по 0, 1, 2, …. элементов (то есть классификация по числу элементов в подмножестве).

Классификации сочетаний с повторениями.

Рассмотрим m-сочетания с повторениями, составленные из элементов n+1 типов, скажем букв a, b, c, …,x. Число таких сочетаний равно

.

Разобьем все сочетания на классы, отнеся к k-му классу сочетания, в которые k раз входит буква a. Остальные m–k мест могут быть заняты оставшимися буквами b,c, …, x, число которых равно n. Поэтому в k-й класс входит столько сочетаний, сколько можно составить (m-k)-сочетаний с повторениями из элементов n типов, то есть

.

Значит общее число всех сочетаний равно

С другой стороны, их число равно

.

Значит

Заменяя здесь формально n на n+1 и m на m–1, получим

Или, используя формулу

получим

Частными случаями этой формулы при n=1,2,3 являются

Отсюда легко найти формулы для суммы квадратов и кубов последовательных натуральных чисел.

Комбинаторные задачи с ограничениями.

Мы разберем только простейшую задачу о постройке лестницы (еще несколько задач есть в списке задач для подготовки к контрольной).

Строится лестница, которая состоит из ступенек высоты 30 см и ширины 50 см, которая должна подняться на высоту 1,5 метра и допускает отступ от стены не более 4,5 метра. Ясно, что всего в высоту нужно сделать 5 ступенек, причем подъемы допустимы на 9+1=10 местах (включая оба края). Основное ограничение состоит в том, что нельзя сразу класть две ступеньки друг на друга (поднявшись на высоту 30 см человек должен ступить горизонтально перед следующим подъемом). На рисунке изображена одна из возможных лестниц

Обозначим все места подъема знаком 1, а горизонтальный пролет – 0. Тогда лестницу на рисунке можно закодировать последовательностью