23.12.2015 Шеина Г.В. Теория и практика решения задач по алгебре, часть 1
.pdfОчевидно, что чисел бесконечно много, поскольку если = 2 + 1, то по-
дойдет число = 5(2 +1)+1 = 5 + 3, тогда = 30 + 21. В этих случаях число
2
имеет остаток 21.
Применим теперь рассуждение, приведенное в предыдущей задаче:
4 = 60 + 24, а 5 = 30 + 15 = 30( − 2 − 1) + 30 − 9.
=21
Тем самым остаток равен 21, что уже и установлено нами.
Замечание. Решение для задачи 6 стало бы абсолютно верным, если бы мы рассуждали так: если число, о котором идет речь в условии задачи, существует,
то оно дает остаток 11. Но ни одного такого числа не существует. Поэтому не-
правильно говорить, что оно дает остаток 11.
Задача 8. Покажите, что если , > 1, то сумма = 12 + 13 + + 1 не мо-
жет быть целым числом.
Решение. Умножим сумму = 12 + 13 + + 1 на произведение всех нечетных знаменателей, встречающихся в сумме .
Произведение ∙ (12 + 13 + + 1) есть сумма
целых слагаемых, в которые превратятся слагаемые суммы с нечетными знаменателями, и
дробей вида 2 c нечетными числителями .
При этом 2 < при всех значениях . Ясно, что 2 ≤ < 2 +1 для некоторого
. Умножив произведение ∙ на 2 −1, получим сумму целых чисел и
числа 2−1 = ( – нечетное число), не являющегося целым числом. Отсю-
2 2
да видно, что число 2 −1 не является целым, поэтому число также не мо-
жет быть целым.
41
Упражнения
1.Что можно сказать о делимости суммы и разности двух чисел, одно из ко-
торых делится, а другое не делится на число ? Докажите сформулиро-
ванное вами утверждение.
2.Что можно сказать о делимости суммы и разности двух чисел, оба из ко-
торых не делятся на число ?
3.Докажите, что для любого натурального число 32 − 3 делится на 2 и не делится на 4.
Указание. Отсутствие делимости на 4 доказывается по индукции. Индук-
ционный переход: пусть 32 − 3 не делится на 4, тогда
32 +2 − 3 = 32 +2 − 3 ∙ 32 + 3 ∙ 32 − 3 = 9 ∙ (32 − 3) + 3 ∙ 32 − 3 .
24 4
Поскольку первое слагаемое в сумме по предположению индукции не делится на 4, а второе делится на 4, то 32 +2 − 3 также не делится на 4.
4.С помощью алгоритма Евклида найдите наибольший общий делитель чисел и ; выразите его в виде = + , где , , если
а) = 607, = 47, б) = 7194, = 6787.
5.Разложите число 50! на простые множители.
6. Докажите, что если = |
|
1 |
|
2 … |
|
, = |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
2 |
… , то |
|||||||||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|||||
Н. О. Д. ( , ) = |
( , |
) |
|
( , |
) |
… |
( |
, ) |
. Чему равно |
||||||||
1 1 |
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
||||||||
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
наименьшее общее кратное Н. О. К. ( , ) чисел и ? Вычислите произве-
дение Н. О. Д. ( , ) ∙ Н. О. К. ( , ).
7.Докажите, что для любого целого и любого целого положительного существует единственное целое число такое, что
≤ < ( + 1) .
42
8.Пусть числа и взаимно просты. Докажите, что взаимно просты числа а) и + , б) и − ,
в) + и 2 + .
9.Покажите, что если 2 + 1 – простое число, то = 2 .
10. Покажите, что если , , > 1 и + 1 – простое число, то
= 2 .
11.Покажите, что среди чисел вида 6 + 5, имеется бесконечное множество простых чисел.
12.Покажите, что для любого натурального числа найдется такое нату-
ральное число , что числа , + 1, … , + – составные.
Указание. Для ≠ 1 рассмотрите число = !3. Приведите пример для числа , если = 1.
13.Найдите остаток от деления: а) числа 22008 на 3, б) числа 492007 на 5,
в) числа 1412 + 1214 на 13,
г) числа 22225555 + 55552222 на 7.
14.Верно ли равенство 3100 + 7100 = 8100?
43
Индивидуальные задания
Задание 1 .
Докажите методом математической индукции, что если , то
1. 145 ∙ 122 − 12 ∙ 11 133. 2. 116 −3 + 1 148.
3. 41 ∙ 62 −1 − 1 35.
18. 7 +2 + 82 +1 57.
4. 7 ∙ 52 −1 + 23 +1 17.
19. 4 5 + 5.
5. 152 − 108 117.
20. 22 +1 + 1 3.
6. 22 + 6 + 8 9.
21. 8 ∙ 64 + 7 +2 57.
7. 10 + 45 − 1 27.
22. 3 + 5 3.
8. 32 +2 − 8 − 9 64.
23. 5 ∙ 23 −2 + 33 −1 19.
9. 10 ∙ 3 + 36 11.
24. 2 3 + 3 2 + 7 6.
10. 10 +1 − 9 − 10 81.
25. 10 + 18 − 28 27.
11. 2 +2 ∙ 3 + 5 − 4 25.
26. 4 + 15 − 1 9.
12. 52 +1 + 2 +4 + 2 +1 23.
27. 2 5 + 3 5.
13. 4 + 5 3.
28. 3 + 11 6.
14. 2 +5 ∙ 34 + 53 +1 37.
29. 72 − 42 33.
15. 3 + ( + 1)3 + ( + 2)3 9.
30. 22 − 1 3.
16. 4 3 − 3.
31. 52 − 32 16.
17. 116 +3 + 1 37.
Задание 2 . С помощью алгоритма Евклида найдите наибольший общий де-
литель чисел и . Вычислите целые числа , для уравнения
+ = Н. О. Д. ( , ), если
1. |
= 321 , = 217. |
17. |
= 149 , = 261. |
2. |
= 531 , = 418. |
18. |
= 187 , = 352. |
3. |
= 551 , = 427. |
19. |
= 135 , = 351. |
44
4. |
= 543 , = 321. |
20. |
= 138 , = 951. |
5. |
= 831 , = 239. |
21. |
= 168 , = 681. |
6. |
= 717 , = 221. |
22. |
= 147 , = 744. |
7. |
= 731 , = 252. |
23. |
= 328 , = 283. |
8. |
= 721 , = 232. |
24. |
= 175 , = 553. |
9. |
= 462 , = 236. |
25. |
= 191 , = 477. |
10. |
= 452 , = 239. |
26. = 317 , = 271. |
11. |
= 421 , = 318. |
27. = 654 , = 456. |
12. |
= 710 , = 135. |
28. = 171 , = 711. |
13. |
= 429 , = 147. |
29. = 611 , = 106. |
14. |
= 323 , = 311. |
30. = 169 , = 371. |
15. |
= 364 , = 185. |
31. = 139 , = 831. |
16. |
= 591 , = 185. |
|
Задание 3 .
Найдя разложение чисел и на простые множители, вычислите их наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное, если
1. |
= 3102 |
, = 4277 |
17. |
= 9345 , = 2415 |
2. |
= 1463 |
, = 6391 |
18. |
= 8673 , = 16303 |
3. |
= 3289 , = 11297 |
19. |
= 4026 , = 9471 |
|
4. |
= 4248 |
, = 7668 |
20. |
= 2684 , = 3894 |
5. |
= 5688 |
, = 4212 |
21. |
= 5841 , = 3531 |
6. |
= 19197 |
, = 26325 |
22. |
= 6786 , = 4173 |
7. |
= 7250 |
, = 8325 |
23. |
= 5577 , = 3311 |
8. |
= 1674 |
, = 2331 |
24. |
= 6903 , = 4173 |
9. |
= 1206 |
, = 4209 |
25. |
= 5852 , = 3542 |
10. |
= 2145 |
, = 2115 |
26. |
= 2064, = 3460 |
11. |
= 2821 |
, = 1420 |
27. |
= 4173 , = 4030 |
12. |
= 2541 |
, = 3146 |
28. |
= 3795 , = 4172 |
45
13. |
= 27951 , = 6292 |
29. |
= 4225 , = 3913 |
14. |
= 16198 , = 9396 |
30. |
= 2079 , = 4316 |
15. |
= 16415 , = 9828 |
31. |
= 1936, = 4186 |
16.= 21798 , = 3105
Задание 4 .
Найдите каноническое разложение числа на простые множители.
1. |
= 57! |
17. |
= 35! |
2. |
= 51! |
18. |
= 27! |
3. |
= 32! |
19. |
= 44! |
4. |
= 28! |
20. |
= 53! |
5. |
= 39! |
21. |
= 49! |
6. |
= 34! |
22. |
= 36! |
7. |
= 43! |
23. |
= 54! |
8. |
= 31! |
24. |
= 38! |
9. |
= 25! |
25. |
= 46! |
10. |
= 29! |
26. |
= 52! |
11. |
= 40! |
27. |
= 41! |
12. |
= 47! |
28. |
= 55! |
13. |
= 30! |
29. |
= 48! |
14. |
= 45! |
30. |
= 56! |
15. |
= 42! |
31. |
= 37! |
16.= 33!
46
Глава 3. Комплексные числа
Понятие комплексного числа
Уравнение 2 + 1 = 0, как мы знаем, не имеет решения, если – действитель-
ное число.
Попробуем расширить множество действительных чисел так, чтобы уравнение
2 + 1 = 0 имело решение. Мы знаем, что действительные числа можно рас-
сматривать как множество точек числовой прямой. На этой прямой должны быть выбраны
начало отсчета (начало координат),
отрезок единичной длины (масштаб),
положительное направление отсчета.
Добавим к этой прямой вторую ось, проходящую через уже выбранное начало координат с тем же масштабом и перпендикулярную первой прямой. Будем отождествлять точки плоскости с парами действительных чисел , , координа-
тами точки плоскости в выбранной нами системе координат
(рис. 1), и называть точки получившейся плоскости комплексными числами.
Итак, комплексное число – это точка с координатами ( , ), , . Множе-
ство всех комплексных чисел будем обозначать символом (от лат. complex).
Действительным числам соответствуют теперь точки вида ( , 0), .
( , )
Рис. 1
47
Нужно теперь научиться складывать и умножать новые числа. Желательно при этом, чтобы действительные числа, являющиеся частью множества новых чи-
сел, складывались и умножались так же, как и раньше.
Сложение и умножение определим так:
( , ) + ( , ) = ( + , + ), ( , ) ∙ ( , ) = ( − , + ).
Например, (0,1) ∙ (0,1) = (−1,0).
Заметим, что действительные числа складываются и умножаются так:
( , 0) + ( , 0) = ( + , 0), ( , 0) ∙ ( , 0) = ( , 0). Кроме того, уравнение
2 + 1 = 0, которое теперь следовало бы записать в виде 2 + (1,0) = (0,0), имеет решение. А именно, если = (0,1), то 2 = (0,1) ∙ (0,1) = (−1,0), и по-
этому, как нетрудно видеть, = (0,1) является решением этого уравнения.
Убедимся, что новые операции обладают свойствами, к которым мы привыкли при обращении с действительными числами:
1.+ (0,0) = для любого комплексного числа , то есть число (0,0) игра-
ет такую же роль, как число ноль для действительных чисел.
2.Операция сложения коммутативна, то есть при сложении неважно, какое слагаемое записано первым, а какое вторым, результат будет один и тот же: 1 + 2 = 2 + 1.
3.Операция сложения ассоциативна, то есть при сложении трех слагаемых неважно, какое из сложений выполнять сначала (неважен порядок выпол-
нения двух сложений):
( 1 + 2) + 3 = 1 + ( 2 + 3).
4.Операция умножения коммутативна: 1 ∙ 2 = 2 ∙ 1.
5.Операция умножения ассоциативна: ( 1 ∙ 2) ∙ 3 = 1 ∙ ( 2 ∙ 3).
6.Справедлив закон дистрибутивности: ( 1 + 2) ∙ 3 = 1 ∙ 3 + 2 ∙ 3.
48
Проверим, например, свойство 6. Пусть 1 = ( , ), 2 = ( , ), 3 = ( , ). Тогда 1 + 2 = ( + , + ), и левая часть равенства 6 примет вид:
( 1 + 2) ∙ 3 = ( + , + ) ∙ ( , ) = = (( + ) − ( + ) , ( + ) + ( + ) ) =
= ( + − − , + + + ).
Для правой части равенства 6 имеем:
1 ∙ 3 + 2 ∙ 3 = ( , ) ∙ ( , ) + ( , ) ∙ ( , ) =
=( − , + ) + ( − , + ) =
=( + − − , + + + ).
Очевидно, что число, полученное в результате вычисления левой части равен-
ства, совпадает с числом, полученным в результате вычисления правой части, и
свойство 6 доказано.
Перечисленные свойства позволяют, например, пользоваться формулой сокращенного умножения: ( 1 + 2) ∙ ( 1 − 2) = 12 − 22.
Задача. Вычислив левую часть равенства, докажите справедливость равенства.
Замечание. Если операция умножения не коммутативна, как это бывает,
например, при умножении матриц, то указанная формула умножения может быть записана только в виде
( 1 + 2) ∙ ( 1 − 2) = 12 − 1 2 + 2 1 − 22.
Переход к алгебраической форме записи комплексного числа
Для того чтобы привычнее было работать с комплексными числами, будем за-
писывать их в так называемой алгебраической форме. Для этого вычислим комплексное число вида ( , 0) + ( , 0) ∙ (0,1).
49
Нетрудно видеть, что ( , 0) + ( , 0) ∙ (0,1) = ( , 0) + (0, ) = ( , ). Таким об-
разом, любое комплексное число ( , ) можно записать в виде
( , 0) + ( , 0) ∙ (0,1).
Поскольку числа ( , 0) и ( , 0) складываются и умножаются подобно действи-
тельным числам, мы можем записать их в виде и . Число (0,1) обозначим символом и будем называть мнимой (или комплексной) единицей. Мы прихо-
дим к более удобной записи произвольного комплексного числа:
( , ) = + . Это представление называется алгебраической записью ком-
плексного числа.
При сложении и умножении комплексных чисел в алгебраической форме мож-
но просто производить обычные вычисления с буквенными выражениями, учитывая, что 2 = −1. Кроме того, полезно знать, что 3 = − , 4 = 1.
Задача. Сформулируйте правило для вычисления степени .
Пусть = + — комплексное число, записанное в алгебраической форме,
где и — вещественные числа. Числа и называются соответственно веще-
ственной и мнимой (англ. real, imaginary) частями и обозначаются = Re и= Im .
|
Если |
= |
0, то число называется мнимым или чисто мнимым числом. |
|
Если |
= |
0, то число является действительным (вещественным). |
Вещественные числа на комплексной плоскости занимают горизонтальную ось,
мнимая единица изображается единицей на вертикальной оси; по этой причине горизонтальная и вертикальная оси называются соответственно вещественной
и мнимой осями.
Ясно, что равенство + = + имеет место тогда и только тогда, когда они задают одну и ту же точку на комплексной плоскости, то есть ( , ) = ( , ) или
50