16_17_konspekt

Доказательство. Так как простое отношение удовлетворяет векторному равенству , а координаты векторов и равны: ,то . Аналогично . Искомая формула следует из полученных соотношений и равенства (20.1). Лемма доказана.

Лемма 3. Для любых точек А, В, С и D оной прямой справедливо соотношение .

Справедливость утверждения этой леммы непосредственно следует из (20.2). Проверьте его самостоятельно.

Ведем определение -движений точек -плоскости.

Определение 2. Биективное отображение будем называть ‑движением, если оно удовлетворяет следующим условиям:

1) Отображение g переводит абсолют  в себя: .

2) Отображение g переводит хорды окружности  в хорды окружности ;

3) Отображение g сохраняет сложное отношение четырех точек, т. е. для любых четырех точек A, B, C, D, лежащих на одной хорде абсолюта  и их образов и имеет место равенство .

Рассмотрим два примера простейших ‑движений.

Пример 1. Вращение плоскости вокруг центра абсолюта O на произвольный угол  является ‑движением².

Действительно, - биективное отображение; ()=; ()=; переводит хорды окружности  в хорды окружности ; сохраняет сложное отношение четырех точек, потому что как движения евклидовой плоскости вращение сохраняет простое отношение точек.

Пример 2. Симметрия S_d относительно произвольного диаметра d абсолюта является ‑движением.

Доказательство этого утверждения проводится так же, как и в предыдущем примере.

Рассмотрим еще один пример -движения, которое имеет гораздо более сложный характер, чем -движения и .

Пример 3. Пусть на плоскости дана прямоугольная декартовая система координат, начало которой совпадает с центром О абсолюта (рис. 91). Выберем произвольное число а, удовлетворяющее условию: . Тогда отображение S^a:'', которое каждой точке ставит в соответствие точку , где

(20.3)

является -движением.

Доказательство сводится к непосредственной проверке условий, определяющих ‑движение для отображения, заданного равенствами (20.2).

Покажем, что S^a - биективное отображение множества  на множество , причем S^a()=. Для этого из формул (20.3) выразим х и у через х и у. Так как , то , поэтому . Из равенства следует, что . Заменим в этом выражении х на , получим: . Таким образом:

(20.4)

Точка принадлежит  в том и только в том случае, когда , и лежит на окружности  тогда и только тогда, когда . Из равенств (20.3) следует, что

. (20.5)

Поэтому, если точка М принадлежит абсолюту , то , тогда и , следовательно ее образ также принадлежит . Пусть точка М принадлежит -плоскости . Тогда . Но , поэтому . С другой стороны, первая координата х точки М удовлетворяет неравенству , следовательно число отлично от нуля, поэтому оно положительно. Из (20.5) следует, что . Таким образом, точка М принадлежит -плоскости . Мы показали, что S^a() и S^a(). Обратно, если точка М принадлежит либо -плоскости , либо абсолюту , то из (20.4) вытекает, что ее прообраз также принадлежит либо , либо . Отображение биективно отображает  на себя, причем это отображение на абсолюте  также биективно. Условие 1 определения 2 выполнено.

Покажем, что отображение S^a удовлетворяет условию 2 определения 2. Пусть UV - произвольная хорда окружности . Тогда, координаты точек UV удовлетворяют уравнению прямой: Ax+By+C=0 при некоторых A, B, C. Подставляя равенства (20.4), выражающие координаты x и y через x и y в последнее уравнение получаем, что координаты точек S^a(UV) удовлетворяют уравнению вида Ax+By+C=0 при некоторых A, B, C. Поскольку S^a - биективное отображение множества  на себя, причем S^a()=, то S^a(UV) является хордой окружности .

Поверим выполнение условия 3 определения 2. Пусть A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃), D(x₄, y₄) - произвольные точки, лежащие на некоторой хорде UV окружности , A(x₁; y₁), B(x₂; y₂), C(x₃; y₃) и D(x₄; y₄) их образы при отображении S^a. Из равенств (20.3) получим: при любых i, j=1, 2, 3, 4. В случае, если хорда UV окружности  не параллельна оси Oy, из последнего равенства и из (20.2) следует: . Если хорда UV параллельна оси Oy, то x₁=x₂=x₃=x₄, тогда: при i, j=1, 2, 3, 4, откуда, силу леммы (20.3) также следует, что: . Преобразование S^a является -движением.

Сопоставляя равенства (20.3) и (20.4) заметим, что -движение S^a инволютивно, т. е. совпадает со своим обратным преобразованием: (S^a)^‑1=S^a. Можно показать, что это -движение является осевой симметрией -плоскости относительно некоторой хорды абсолюта UV, перпендикулярной оси Ox (см. рис. 91). Таким образом, -движение S^a отображает ‑полуплоскость  на , оставляя неподвижными точки хорды UV.

Свойство 1. Множество всех ‑движений является группой относительно операции композиции отображений.

Достаточно проверить, что композиция любых двух ‑движений является ‑движением; и отображение, обратное произвольному ‑движению, является также ‑движением. Справедливость этих двух условий следует непосредственно из определения ‑движения, подробности проверки предоставляются читателю в качестве простого упражнения.

Свойство 2. Если при -движении точки А, В и С принадлежащие одной -прямой преобразуются сами в себя, то любая точка этой прямой также является неподвижной.

Доказательство этого свойства непосредственно следует из условия сохранения двойного отношения точек, принадлежащих одной прямой, и из леммы 1.

Свойство 3. Любое ‑движение переводит ‑прямую в ‑прямую и сохраняет отношение “лежать между”.

Доказательство. Первое утверждение леммы непосредственно следует из определения ‑движения. Покажем, что произвольное ‑движение g сохраняет отношение «лежать между».

Если нам дана упорядоченная тройка точек А, В, С прямой на евклидовой плоскости, то точка С лежит между А и В в том и только в том случае, когда (см., например, § 7). Пусть имеется упорядоченная тройка точек A, B и C, лежащих на ‑прямой UV, такие, что точка С лежит между А и В: А-С-В (см. рис. 88). Тогда . С другой стороны, точка В лежит между точками A и V, поэтому , и, следовательно, . Рассмотрим произвольное -движение g и ведем обозначения: A=g(A), B=g(B), C= g(C), V=g(V). Из определения ‑движения, имеем: , V, а так как и точка В лежит между точками A и V,т.е. , то . Таким образом, A-С-В. Лемма доказана.

Из доказанного свойства вытекает, что любое ‑движение переводит ‑отрезок в ‑отрезок, ‑угол - в ‑угол, ‑полуплоскость - в ‑полуплоскость.

Свойство 4. Для любой -точки A существует -движение g такое, что g(A)=O.

Доказательство. В качестве требуемого -движения g можно взять преобразование, рассмотренное в примере 3. Выберем прямоугольную декартову систему координат с началом в точке O и осью Ox, совпадающей с лучом OA. Точка A имеет в этой системе координат координаты A(a, 0), где 0<a<1. Положив g=S^a, из равенств (20.3) находим, что координаты образа: S^a(A(a, 0))=O(0, 0) (и S^a(O(0, 0))=A(a, 0)). Свойство доказано

Свойство 5. Пусть на -плоскости имеются два произвольных флага³ F=(A, h, ) и F=(A, h, ). Тогда существует -движение g такое, что g(F)=F, т. е. g(A)=A, g(h)=h, g()=.

Доказательство. Пусть F=(A, h, ) и F=(A, h, ) - два данных флага, где h=AV,  - сегмент, ограниченный хордой UV и дугой UYV, h=AV,  - сегмент, ограниченный хордой U’V’ и дугой UXV (рис. 90). В силу свойства 3, существуют -движения d и f такие, что d(A)=O и f(A)=O. Обозначим через k=d(h)=OХ, k=f(h)=OХ, =d(), =f() (на рисунке 92  - полукруг XUY, а  - полукруг XUY).

Рассмотрим вращение - вокруг точки O на угол , переводящее диаметр XY в диаметр XY, причем (X)=X, (Y)=Y. В случае если ()=, положим . В противном случае положим , где S_X_Y - симметрия относительно оси XY. В обоих случаях, очевидно, имеем h()= и h(k)=h(OY)=OY=k. Тогда, если положить , то в силу свойства 1 отображение g является -движением, причем, как нетрудно видеть, g(F)=F. Свойство 5 доказано.

Свойство 6. Если -движение g некоторый флаг F=(O, h, ), где О – центр абсолюта, переводит в себя, то g - тождественное отображение.

Доказательство. Нам даны флаг , где О – центра абсолюта, и некоторое -движение g, для которого (рис. 91). Требуется доказать, что g – тождественное преобразование. Во-первых, покажем, что при этом преобразовании абсолют  состоит из инвариантных точек. Легко видеть, что любая точка прямой UV инвариантна относительно g. Действительно, в силу свойства 3 -прямая OV преобразуется в -прямую OV, а так как , то и . Возьмем произвольную точку D прямой UV. Тогда, если , то

.

Отсюда и из леммы 1 следует, что .

Предположим, что образ точки A не совпадает с этой точкой (см. рис. 91). Тогда в силу свойства 3 -прямая АВ преобразуется в -прямую АВ. Проведем следующие построения на евклидовой плоскости, содержащей абсолют нашей модели. Во-первых, проведем биссектрису угла АОА (на рисунке 91 биссектриса изображена пунктирной линией). И, во-вторых, выберем некоторую точку D на -прямой UV, отличную от центра О и проведем хорду EF абсолюта, перпендикулярную построенной биссектрисе. Тогда она пересекает хорды АВ и АВ соответственно в точках H и G. Ясно, что отрезки OH и OG равны между собой как отрезки евклидовой плоскости (см. рис. 91). Следовательно, в силу определения сложного отношения точек . Отсюда g(H)=G, т. к. g(A)=A, g(B)=B, g(O)=O. Но g(D)=D, поскольку все точки диаметра UV - неподвижные, поэтому g(EF)=EF. Но точки дуги UAV абсолюта преобразуются в точки это же дуги, поэтому g(E)=E, и, следовательно, g(F)=F. Таким образом, на хорде EF имеются три неподвижные точки - E, F и D и из свойства 2 следует, что все точки хорды EF являются неподвижными. Но это противоречит тому, что g(H)=G. Полученное противоречие доказывает, что g(A)=A. Отсюда, так как точки О и А прямой ОА неподвижны, а точки абсолюта при -движении преобразуются в точки абсолюта, g(B)=B. Аналогично показывается, что любая точка дуги UBV абсолюта неподвижна.

Пусть теперь M - произвольная точка -плоскости  и MUV. Покажем, что M - неподвижная точка. Рассмотрим произвольный диаметр АВ абсолюта (рис.92). По доказанному выше точки А и В инвариантны относительно данного движения g. Заметим, что одна из хорд MA или MB пересекает диаметр UV, т. к. точки A и B лежат по разные стороны от UV. Пусть, для определенности, хорда BC, проходящая через точку M, пересекает диаметр UV в некоторой точке N. Тогда g(N)=N, g(B)=B и, следовательно, g(ВС)=BC, откуда g(C)=C. Таким образом, на хорде BC имеются три неподвижные точки: N, B, C, и значит, в силу свойства 2, любая ее точка, в частности точка M, является неподвижной g(M)=M. Таким образом, g - тождественное отображение. Свойство доказано.

Свойство 7. Пусть на -плоскости имеются два произвольных флага F=(A, h, ) и F=(A, h, ). Тогда существует ровно одно -движение g такое, что g(F)=F.

Доказательство. Пусть F=(A, h, ) и F=(A, h, ) - два данных флага. В силу свойства 5 существует -движение g, переводящего флаг F во флаг F. Докажем его единственность.

Пусть имеются -движения g и f такие, что g(F)=f(F)=F. Опираясь на свойство 3, покажем, что . Возьмем произвольный флаг G=(O, k, ). В силу свойства 5, найдутся -движения h и d такие, что h(G)=F, d(F)=G. Тогда и . Из свойства 6 вытекает, что и - тождественные преобразования, поэтому . Умножая последнее равенство слева на , а затем справа - на , получим , свойство доказано.

Лекции 21. Непротиворечивость геометрии Лобачевского. Независимость аксиомы параллельности от остальных аксиом.

Литература [1], § 80.

В предыдущем параграфе мы определили отношение принадлежности -точек и –прямых. -точка принадлежит -прямой, если она как точка евклидовой плоскости принадлежит хорде абсолюта, представляющей собой -прямую. Поскольку это отношение совпадает с отношением принадлежности точек и прямых евклидовой плоскости, то оно удовлетворяет требованиям аксиом I₁-I₃ аксиоматики Гильберта (см § 3).

Определим отношение “лежать между” для упорядоченных троек ‑точек. Будем говорить, что ‑точка B лежит между ‑точками A и C и писать A-B-C тогда и только тогда, когда A, B, C три различные ‑точки одной ‑прямой и точка B лежит на отрезке AC как отрезке хорды евклидовой плоскости. Очевидно, что так определенное отношение “лежать между” удовлетворяет требованиям аксиом II группы аксиоматики Гильберта, т. к. совпадает с таким же отношением для точек евклидовой плоскости и, следовательно, удовлетворяет всем его свойствам.

Поскольку введенные отношения принадлежности и “лежать между” удовлетворяет аксиомам II группы аксиоматики Гильберта, то сохраняют смысл определения ‑отрезка, ‑луча, ‑полуплоскости, ‑угла, приведенные в § 3 главы 1. Укажем некоторые из изображенных на рисунке 88 ‑фигур. Евклидов отрезок AB является и ‑отрезком. Интервалы AU и AV являются ‑лучами; сегменты  и , стягиваемые хордой UV (исключая точки окружности ) являются ‑полуплоскостями, границей которых служит ‑прямая UV.

Перейдем к определению отношения конгруэнтности ‑отрезков и ‑углов и проверке требований аксиом III группы аксиоматики Гильберта. В этом и состоит основная трудность построения модели Кэли - Клейна плоскости Лобачевского. Понятие ‑движения, введенное нами в предыдущем параграфе, позволяет естественным образом определить конгруэнтность произвольных фигур, лежащих на ‑плоскости, в частности, ‑отрезков и ‑углов.

Определение 1. Произвольные фигуры F и G, лежащие на ‑плоскости назовем конгруэнтными или равными, если существует ‑движение g, при котором фигура F отображается на фигуру G⁴.

Конгруэнтность фигур на -плоскости будем обозначать значком «». Опираясь на установленные свойства -движения покажем, что определение отношение конгруэнтности отрезков и углов удовлетворяет аксиомам III группы аксиоматики Гильберта. Проверим одну за другой аксиомы этой группы (см. § 4).

Утверждение аксиомы III₁. Если дан -отрезок АВ и луч с началом в -точке A, то существует такая -точка В этого луча, такая, что АВ = АВ. Для каждого -отрезка АВ требуется, чтобы АВ=ВА

Доказательство. Докажем, не только существование точки В, но и ее единственность⁵. Рассмотрим два флага: F=(A, h, ) и F=(A, h, ), где - -луч, содержащий AB, ,  и  - произвольные ‑полуплоскости с соответствующими границами. В силу свойства 5 -движений, рассмотренного в § 20, найдется такое -движение g, для которого g(F)=F. Обозначим через B=g(B), тогда Bh, т. к. g(h)=h, и в силу определения 1, . Существование точки В доказано. Докажем ее единственность. Пусть ABAB и ABAB, покажем, что B=B. Обозначим через AU и AU - -лучи, дополнительные к h и h, соответственно. Очевидно, g(U)=U, а g(V)=V. В силу определения конгруэнтности отрезков ABAB найдется -движение g такое, что g(A)=A, g(B)=B, следовательно, g(U)=U, g(V)=V. Из определения ‑движения имеют место равенства: и . Поэтому из леммы 1 § 20 вытекает, что .

Нам осталось показать, что отрезок АВ равен отрезку ВА. Рассмотрим отрезок АВ -прямой PQ. Обозначим через h луч AQ, а через p луч ВР, а  -полуплоскость, граница которой определена -прямой PQ (рис. 93). По свойству 5 существуют -движения g, переводящее флаг во флаг . Введем обозначение: . Тогда . Из определения движения следует, что . Но из следствия леммы 2 § 20 вытекает, что . Поэтому точка А совпадает с точкой В₁ и отрезок АВ конгруэнтен отрезку ВА. Утверждение доказано полностью.

Утверждение аксиомы III₂. Если отрезок АВ конгруэнтен отрезкам АВ и АВ, то отрезки АВ и АВ конгруэнтны между собой.

Доказательство Справедливость утверждения непосредственно следует из определения конгруэнтности и свойства 1 § 20. Действительно, пусть ABAB и ABAB, покажем, что ABAB. В силу определения конгруэнтности найдутся ‑движения g и f такие, что g(AB)=AB и f(AB)=AB. Тогда композиция , как следует из вышеупомянутого свойства, представляет собой ‑движение. Так как , то ABAB. Утверждение доказано.

Утверждение аксиомы III₃. Если точка В лежит между точками А и С, А-В-С, а точка В между точками А и С, А-В-С, и АВ = АВ, ВС= ВС, то АС = АС.

Доказательство. Пусть для ‑точек A-B-C и A-B-C имеет место ABAB, BCBC. Из определения конгруэнтности следует, что существует такое ‑движение g, для которого g(AB)=AB. Ясно, что это движение переводит луч ВС в луч ВС. В силу утверждения, доказанного при проверке аксиомы III₁ на ‑луче BC имеется единственная точка C, для которой BCBC, поэтому g(C)=C, отсюда следует, что , т.е. ACAC. Утверждение доказано.

Утверждение аксиомы III₄. Пусть дан угол и дан флаг (), то в полуплоскости  существует один и только один луч k с началом в точке О, такой, что = . Каждый угол конгруэнтен сам себе.

Доказательство. Пусть даны hk и флаг F=(O, h, ). В начале покажем, что в ‑полуплоскости  существует такой ‑луч k с началом в ‑точке О, что hkhk. Обозначим через O начало ‑луча h, а через  ту из двух ‑полуплоскостей с общей границей h, которая содержит ‑луч k. Возьмем флаг F=(O, h, ). В силу свойства 7 § 20, существует единственное ‑движение g такое, что g(F)=F. Положим k=g(k). Тогда k, т. к. k и g()=. Отсюда, в силу определения конгруэнтности следует, что hkhk. Существование ‑луча k, удовлетворяющего требованию утверждения аксиомы III₄ доказано.

Докажем единственность луча k. Пусть в ‑полуплоскости  существует еще один ‑луч k с началом в ‑точке О, для которого hkhk. В силу определения конгруэнтности найдется ‑движение f, переводящее h и k в h и k: f(h)=h, f(k)=k. Отсюда и из свойств ‑движений следует, что f()=, т. е. f(F)=F. Применяя свойство 7, получим f=g и, стало быть, k=k. Единственность доказана.

Конгруэнтность каждого угла самому себе очевидна, так как тождественное преобразование является -движением. Утверждение доказано полностью.

Утверждение аксиомы III₅. Пусть А, В и С – три точки, не принадлежащие одной прямой, А, В и С - так же три точки, не лежащие на одной прямой, пусть АВ = АВ, ВС = ВС и , тогда .

Доказательство. Воспользуемся определением конгруэнтности. Так как ABCABC, то найдется ‑движение g такое, что g(ABC)=ABC, т. е. g(B)=B, g([BA))=[BA), g([BC))=[BC), где через [XY) обозначен ‑луч XY. При доказательстве утверждения аксиомы III₁ мы показали, что единственность откладывания -отрезка, равного данному, от начала данного луча. Поэтому, так как ВAВA, то g(A)=A. Аналогичное рассуждение показывает, что g(C)=C, следовательно g(BAC)=BAC и, в силу определения конгруэнтности, BACBAC. Утверждение доказано.