3.4. Ряд Фурье для четных и нечетных функций

В некоторых случаях формулы (4) для вычисления коэффициентов Фурье могут быть упрощены. Это имеет место для четных и нечетных функций. Следует учесть, что если f(x) – четная на промежутке [-a, a], то

если же f(x) – нечетная, то

.

Допустим теперь, что нужно разложить в ряд Фурье четную функцию f(x). На основании свойств четных и нечетных функций, а также формул (4), получили

(5)

Соответственно этому ряд Фурье для четной функции имеет вид:

. (6)

По аналогии для нечетной функции f(x) получим:

. (7)

Ряд Фурье для нечетной функции имеет вид:

. (8)

Таким образом, четная функция раскладывается в ряд только по косинусам, а нечетная функция – только по синусам кратных дуг.

5. Разложение в ряд Фурье функции с периодом 2l

Часто приходится раскладывать в тригонометрический ряд функции, период которых отличен от . Этот случай легко сводится к изученному ранее с помощью замены переменной.

Для функции f(x), имеющей период 2l, коэффициенты Фурье вычисляются по формулам:

(9)

Ряд для функции f(x) имеет вид:

(10)

Пример 1.

Разложить в ряд Фурье функцию периода 2l=2, заданную на отрезке [-1;1] равенством

Решение. Найдем коэффициенты Фурье, используя формулы (9).

,

.

.

По формуле (10) записываем искомый рад Фурье:

.

Формулы (9) и (10) для коэффициентов Фурье и ряда Фурье четных и нечетных функций с периодом 2l преобразуются следующим образом.

Для четной функции:

, , ,

. (11)

Для нечетной функции:

, ,

. (12)

5. Разложение в ряд Фурье непериодических функций

Пусть f(x) – непериодическая функция, заданная на всей числовой оси. Если необходимо разложить её в ряд Фурье на промежутке [-l;l], то вводят вспомогательную функцию с периодом 2l, значения которой совпадают со значениями f(x) на промежутке [0;l]. Если функция удовлетворяет условиям Дирихле, то её можно представить соответствующим рядом Фурье.

Иногда приходится иметь дело с функциями, заданными только на промежутке [0;l]. В этом случае мы можем сначала продолжить функцию на интервал (-l;0), а затем продолжить её на всю числовую ось периодически с периодом 2l. Чаще всего функцию продолжают четным или нечетным образом. Таким образом можно получить бесчисленное множество рядов Фурье для функции f(x), заданной на промежутке [0;l].

Пример 1.

Разложить в ряд по синусам функцию f(x)=1, заданную на промежутке (0;l].

Решение. Для разложения функции в ряд по синусам надо сначала её продолжить на промежуток [-1;0] нечетным образом, а затем полученную функцию продолжить периодически на всю числовую ось. Тогда график функции будет иметь вид:

Коэффициенты ряда вычисляются по формулам (12). Здесь надо принять l=1, f(x)=1. Тогда:

.

Итак:

, , , , , , …

Ряд Фурье для данной функции имеет вид:

.