Лекция 5. Линейные пространства

Аксиоматическое определение линейного

пространства. Базис и размерность линейного пространства

5.1. Аксиоматическое определение линейного пространства

Определение 1. Совокупность V элементов x, y,... произвольной

природы называется линейным пространством, если для любых элементов x и y из V установлено понятие суммы x +y , а для

любого элемента x из V и любого действительного числа λ установлено понятие произведения элемента x на число λ, обозначаемое λx . При этом для введенных операций выполнены следующие восемь аксиом:

1.Сложение коммутативно, x +y = y + x .

2.Сложение ассоциативно, (x + y)+ z = x +(y + z).

3. Существует нулевой вектор θ , удовлетворяющий условию x +θ = x для всех x .

4. Для любого вектора x существует противоположенный вектор y , удовлетворяющий условию x +y = θ .

Для любых векторов x , y и любых действительных чисел α, β имеют место равенства:

5.(α+β)x = αx +βx .

6.α(x +y)= αx +βy .

7.α(βx)= (αβ)x .

8.1 x = x .

Элементы линейного пространства принято называть векторами. Пример 1. Совокупность V ={Pn (x)} всех многочленов степени

≤ n составляет линейное пространство. Решение. Проверим выполнение всех аксиом. В самом деле, пусть

x= Pn (x) = a0 + a1x +... + an xn ;

y= Qn (x) = b0 +b1x +... +bn xn .

По правилу сложения двух многочленов имеем

x+y = Pn (x) +Qn (x) = (a0 + a1x +... + an xn )+(b0 +b1x +... +bn xn )=

=(a0 +b0 )+(a1 +b1 )x +... +(an +bn )xn =

=(b0 +a0 )+(b1 + a1 )x +... +(bn + an )xn = Qn (x) + Pn (x) = y + x ,

следовательно, аксиома 1 выполняется. Аксиома 2 проверяется аналогично.

В качестве нулевого вектора берем многочлен, тождественно равный нулю, θ(x) ≡ 0 .

Для любого многочлена Pn (x) имеет место аксиома 3:

Pn (x) +θ(x) = Pn (x) +0 = Pn (x) .

Проверим выполнение аксиомы 4.

имеем

x +y = Pn (x) +Qn (x) =

=(a0 +a1x +... + an xn )+(−a0 −a1x −... −an xn )=

=(a0 −a0 )+(a1 −a1 )x +... +(an −an )xn = θ(x) .

Таким образом, аксиома 4 верна.

Аксиомы 5 - 8 проверяются аналогично. Так как все аксиомы линейного пространства выполняются для множества V многочленов степени ≤ n , то V является линейным пространством.

Пример 2. Совокупность V всех квадратных матриц порядка 2 составляет линейное пространство.

Решение. Проверим выполнение аксиом.

По правилу сложения матриц

По правилу сложения матриц

аксиома 4 имеет место.

Итак, аксиомы 1 - 4 справедливы. Аналогично проверяется выполнение аксиом 5 - 8. Таким образом, совокупность V всех квадратных матриц порядка 2 - линейное пространство.

Упражнения.

1. Доказать, что множество всех геометрических векторов является линейным пространством.

3. Доказать, что множество С[a,b] непрерывных на отрезке [a,b]

функций является линейным пространством.

Следует отметить, что, вводя линейное пространство, мы отвлекаемся не только от конкретной природы изучаемых объектов, но и от конкретного вида правил образования суммы векторов и произведения на число, - важно лишь, чтобы эти правила удовлетворяли аксиомам, сформулированным в определении линейного пространства.

Укажем некоторые следствия из аксиом.

1.Единственность нулевого элемента.

2.Единственность противоположного элемента.

Пусть a V и a1 , a2 - противоположные элементы для a , то есть

a +a1 = θ , a +a2 = θ.

Рассмотрим вектор a1 +(a +a2 ) . Имеем

a1 +(a +a2 ) = a1 +θ = a1 .

С другой стороны,

обозначать −a .

3.Существование и единственность разности.

Дадим определение разности. Для любых двух векторов a и b назовем разностью a и b такой вектор d , что b +d = a . Обозначим d = a −b .

Положим d = a +(−b) .

Имеем

b +d = b +(a +(−b)) = b +((−b) +a) =

разности.

Покажем, что он единственный вектор, удовлетворяющий этому определению.

Пусть c : b +с = a .

К обеим частям последнего равенства прибавим вектор (−b) : (b +c) +(−b) = (c +b) +(−b) = c +(b +(−b)) =

6.Если α a = θ, то либо α = 0 , либо a = θ.

Для любого вещественного числа α и любого a V справедливы соотношения:

7.α (−a) = −(α a) ;

8.(−α) a = −(α a) .