FOE2016

электроны с более высоких уровней стремятся перейти в это состояние. В результате дырка поднимается к максимуму валентной зоны. Это означает, что направления отсчета энергии дырок и электронов противоположны друг другу. Наименьшей энергией обладают дырки вблизи максимума валентной зоны.

Квантовые числа, характеризующие состояния дырок

Особенности зонной структуры основных полупроводников

Основные технологические полупроводники Si, Ge, A3B5 (GaAs) Электронная конфигурация атомов кремния и германия

Si :1s2 2s2 2p6 3s2 3p2 ,

Ge:1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d10 4s2 4p2

Изолированный атом элемента 4-ой группы имеет электронную конфигурацию s2p2. Атом в кристалле имеет электронную конфигурацию sp3.

Рис. 1. кристаллическая структура алмаза и цинковой обманки (ZnS)

Все полупроводники 4-ой группы имеют решетку типа алмаз, арсенид галлия – цинковой обманки. Данные структуры представляют собой 2 ГЦК решетки, сдвинутые на

2

четверть пространственной диагонали, Альтернативный способ описания кристаллической структуры – ГЦК решетка с двухточечным базисом. Обратная решетка – ОЦК.

Рис. 2 первая зона Бриллюэна для ГЦК решетки

Первая зона Брилюэна – усеченный октаэдр. Особые точки зоны Бриллюэна Г – центр зоны бриллюэна

X – центр грани ячейки Вигнера-Зейца в направлении [100] L - центр грани ячейки Вигнера-Зейца в направлении [111]

Свойства полупроводников определяются малым числом электронов вблизи минимума зоны проводимости и малым числом дырок вблизи максимума валентной зоны

Положение экстремумов зон в кремнии: Минимум зоны проводимости лежит вдоль направления [100], смещён относительно начала координат на ∆ = 0,8 πa . Из-за

симметрии первой зоны Бриллюэна существует 8 эквивалентных минимумов.

Положение экстремумов зон в германии. Минимум зоны проводимости лежит вдоль направления [111] и расположен на границе зоны Бриллюэна. Каждый минимум принадлежит к двум элементарным ячейкам. В результате общее число эквивалентных минимумов, принадлежащих первой зоне Бриллюэна, равно 8/2 = 4.

Различные направления в кристалле неэквивалентны. Поверхность постоянной энергии – эллипсоид проводимости. Закон дисперсии имеет вид

3

Для кремния mt = 0,2m0 , ml = m0

Для германия mt = 0,08m0 , ml =1,6m0

Рис. 2. Зонные диаграммы германия, кремния и арсенида галлия

Спектр валентной зоны является вырожденным. В минимуме зоны существуют лёгкие и тяжелые дырки с различными эффективными массами.

E = Ev − 2m20 (Ak 2 ±B2k 4 +C2 (kx2ky2 +kx2kz2 +ky2kz2 ))

Арсенид галлия – прямозонный полупроводник. Спектр имеет многодолинный характер. m1 = 0,065m0 , m2 =1,2m0

Идеальный полупроводник имеет только две зоны

4

Лекция 6. Типы и роль примесей в кристаллах

С точки рения электроники полупроводники – вещества в которых можно управлять концентрацией носителей заряда легирования, внедрения электрически активной примеси. Примесь – частный случай дефекта, нарушение периодичности.

Роль примеси в полупроводнике

1.Примеси играют роль поставщиков электрического заряда, т. е. определяют концентрацию носителей заряда

2.Примеси – центры рассеяния носителей заряда. Определяют подвижность

3.Глубокие примеси определяют время жизни неравновесных носителей заряда

4.Заряженные примеси создают внутренние электрические поля (p-n переход)

Типы примесей

С примесью могут быть связаны уровни энергии, находящиеся в запрещённой зоне. На этих уровнях могут существовать носители заряда. Энергия, которых необходима для перехода носителя заряда с примесного уровня в разрешенную зону – энергия ионизации, Ei . Для заметного влияния примеси необходимо чтобы Ei kBT

Классификации примесей строится по разным признакам.

1. Классификация по положению в кристаллической решетке а) внедрения б) замещения

Перевод примеси из междоузлия в узел – активация. Активация примеси связана с преодолением потенциального барьера, разделяющего два локально устойчивых состояния в междоузлии и в узле кристаллической решетки

1. Классификация по положению примесного уровня в запрещенной зоне а) мелкие, Ei Eg

б) глубокие, Ei ~ Eg

Температурный потенциал kБT ~ 25 10 3 эВ Ширина запрещенной зоны Eg ~ 1 - 3 эВ.

1

Тепловой энергии недостаточно чтобы электрон мог преодолеть запрещенную зону. Примесь с одним электроном подобна атому водорода. Энергия ионизации атома водорода (ридбеорг) Ry ~ 13,6 эВ,

2. классификация по типу поставляемых носителей заряда а) доноры б) акцепторы

Существуют амфотерные примеси, которые при определённы условиях могут быть как донорами так и акцепторами

Способы внедрения примеси в полупроводник

1.диффузия из источников

2.ионная имплантация

3.Легирование в процессе роста полупроводника

После внедрения примеси в полупроводник она занимает положение в междоузлии, т. е. является примесь внедрения. Электрически активные примеси – примеси замещения, расположенные в узлах кристаллической решетки. Для перевода примеси в междоузлие применяется отжиг

Виды отжига а) термический

б) фотонный, быстрый термический отжиг

Методы описания примеси в кристалле

Постановка задачи Строгая постановка задачи об описании поведения примесных электронов сводится к

решению уравнения Шредингера, включающее непериодический примесной потенциал

Из-за наличия потенциала примеси Гамильтониан является непериодичным

2

1.Полуклассические методы. Потенциал изменяется настолько плавно, что можно пренебречь всеми эффектами, связанными с волновыми свойствами частиц. Носитель заряда ведет себя как обычная классическая частица, но с массой не свободного электрона, а эффективной массой.

2.Теория возмущения. Этот метод применим, если амплитуда внешнего поля мала по сравнению с характерными значениями энергии носителей и/или расстоянием между уровнями энергии при описании межзонных переходов. По теории возмущений могут быть рассчитаны эффекты, связанные со снятием вырождения во внешнем поле, а также вероятности различных механизмов рассеяния носителей заряда.

3.Метод эффективной массы (метод огибающей). Условием применимости метода эффективной массы служит плавность внешнего потенциала, но не на масштабе длины волны носителя, а на масштабе межатомного потенциала.

2 *2 F(r ) V (r )F(r ) (E Ec )F(r ) 2m

(r ) F(R) (r R)

R

4. Численное интегрирование уравнения Шредингера

Вывод уравнения метода эффективной массы

Рассмотрим уравнение Шредингера для электрона в поле внешнего потенциала

V (r )

ˆ

Здесь H0 - гамильтониан идеального кристалла с периодическим потенциалом. Для решения этого дифференциального уравнения воспользуемся обобщенным методом и будем искать решение для волновой функции в виде разложения по базису блоховских волновых функций nk (r ) - собственных функций уравнения Шредингера с периодическим потенциалом:

3

nk

Блоховские функции образуют полный ортонормированный набор:

Здесь угловые скобки обозначают интеграл по объему системы:

dr

Подставим разложение для волновой функции в уравнение Шредингера, умножим его слева на nk (r ) и проинтегрируем по объему:

получим следующее уже алгебраическое уравнение для коэффициентов разложения:

Cnk Enk Vnk ,n k Cn k ECnk ,

n k

где матричный элемент равен:

Представим потенциал в виде его разложения Фурье

V (r ) V (q)eiqr

q

Если потенциал V (r ) плавный, то можно показать, что члены с n n и с k k q малы. Критерием плавности служит условие

Таким образом, с этой точностью имеем:

Vnk ,n k V (k k )

и алгебраическое уравнение Шредингера записывается как:

Запишем закон дисперсии для электрона в идеальном кристалле в приближении эффективной массы:

4

В результате уравнение Шредингера принимает вид:

Введем функцию Fn (r ) , представляющую собой обратное преобразование коэффициента

Cnk , рассматриваемого как функция волнового вектора k , в координатное пространство:

Совершим обратное преобразование Фурье в координатное пространство в алгебраическом уравнении Шредингера. При этом будем учитывать, что, как известно, при преобразовании Фурье произведение функций превращается в свертку и свертка – в произведение функций:

В силу диагональности матричного элемента внешнего потенциала по зонным индексам индекс у функции F можно опустить и считать, например, что n c , т.е. рассматривается зона проводимости. В результате, проводя обратное преобразование Фурье и используя приведенные соотношения, получим уравнение метода эффективной массы.

2 *2 F(r ) V (r )F(r ) (E Ec )F(r ) 2m

Таким образом, для описания электронных состояний в плавном потенциале мы получили уравнение Шредингера, в котором в качестве потенциальной энергии фигурирует именно плавный потенциал, а влияние быстро меняющегося периодического потенциала идеального кристалла учитывается в эффективной массе.

Функция F(r ) называется огибающей, поскольку она представляет собой коэффициент в разложении исходной волновой функции в ряд по локализованным функциям Ванье:

(r ) F(R) (r R) ,

R

где R - координата атома (центра элементарной ячейки в случае сложной элементарной ячейки).

5