Лекция 1

Глава 1

Пространство геометрических векторов

Линейные операции над геометрическими векторами. Коллинеарные и компланарные векторы. Базис, координаты вектора, их свойства. Проекция вектора на ось. Декартов базис и декартовы координаты вектора. Декартовы координаты точки.

1.1. Понятие геометрического вектора.

Линейные операции над векторами, их свойства

Определение 1.Геометрическим вектором (или просто вектором) называется отрезок, концы которого рассматриваются в определенном порядке (т. е. указано, какая из его граничных точек является началом, а какая - концом).

Если за начало отрезкапринята точка, вектор будем обозначать символом(либо одной малой латинской буквой, например,), а точкуназыватьточкой приложениявектора.

На чертеже вектор будем изображать отрезком со стрелкой в конечной точке (рис. 1.1).

Длинойвектораназовем длину отрезкаи в записи используем знак абсолютной величины:(либо).

Вектор называетсянулевымвектором, если его конечная точкасовпадает с начальной.

Нулевой вектор в силу его определения не имеет направления, а длина его равна нулю.

Векторы иназовемколлинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых (рис. 1.2; 1.3).

Два вектора иназываютравными, если они коллинеарны, имеют общее направление и равные длины (рис. 1.4).

Из определения следует, что два вектора, порознь равные третьему, равны между собой. Именно поэтому в аналитической геометрии не различают равные векторы, имеющие разные точки приложения. Векторы, изучаемые в аналитической геометрии, называются свободными.

Определение 2.Суммой векторов и называется вектор, идущий из начала первого вектора ()в конец второго (), при условии, что приложен к концу вектора (рис. 1.5).

Обозначать сумму в тексте будем (либо, если,).

Замечание 1.Из определения 2 следует так называемое «правило параллелограмма»: если векторыиприложены к одной точке (одному началу), то суммапредставляет собой диагональ параллелограмма, построенного на векторахикак на сторонах.

Действительно, в параллелограмме(рис. 1.6) векторыиравны:, а тогда по определению 2 диагональили.

Докажем два свойства операции сложениягеометрических векторов:

1) для любых двух геометрических векторов и:

;

2) для любых трех геометрических векторов ,и:

.

Доказательство свойства 1.

Приложим векторы ик одному началу – произвольной точке, концевые точки обозначим так, как показано на рис. 1.7 и рассмотрим треугольникии.

Из вектор, так как по определению равных векторов.

С другой стороны, из тот же самый вектор, так как.

Таким образом, , и свойство 1 доказано.

Доказательство свойства 2.

Приложим векторк произвольной точке, к концу вектораприложим вектор, к концу- вектор. Концевые точки обозначим так, как показано на рис. 1.8, и рассмотрим вектор, идущий из началав конец вектора.

Из имеем:

, (1.1)

но вектор изравен

. (1.2)

Из (1.1) и (1.2) получим

. (1.3)

С другой стороны, тот же самый вектор из треугольникаможно записать в виде

, (1.4)

но из

. (1.5)

Равенства (1.4) и (1.5) дают следующее:

.

Сравнив последнее равенство с (1.3), получим

,

и свойство 2 доказано.

Замечание 2.Свойство 2 означает, что мы можем далее не различать векторыи, а рассматривать их как один и тот же вектор.

Сумма произвольного числа векторовможет быть получена по следующему правилу: к произвольной точкеприложим вектор, к его концу – вектори так далее, к концу вектораприложим вектор, тогда вектор, начало которого совпадет с началом, а конец – с концом, и будет вектором(рис. 1.9).

Замечание 3.Существует такой вектор, что для любого геометрического векторасправедливо равенство

.

Действительно, в качестве вектора можно взять введенный ранее нулевой вектор.

Если – произвольный геометрический вектор, то по определению суммы векторимеет начало в начале, а конец – в конце второго слагаемого, т. е., но уначало и конец совпадают и, таким образом, у вектораначало совпадает с началом вектора, а конец – с концом вектораи.

Аналогично устанавливаем, что .

Определение 3. Разностью векторов иназывается такой вектор , что.

Запись: .

Из определения 3 следует, что если привести векторыик одному началу, тоизображается вектором, идущим из концав конец(рис. 1.10).

Определение 4.Произведением вектора на число назовем вектор , удовлетворяющий следующим трем условиям:

1. коллинеарен ;

2. ;

3. направление совпадает с направлением , если, и противоположно ему, если.

Под произведением вектора набудем понимать нулевой вектор.

Запись: .

Замечание 4.Векторимеет длину такую же, как вектор(), и направление, противоположное направлению(так как число).

Вектор называется противоположным для вектора(рис. 1.11).

Замечание 5.Для любых векторови, если,, равенствоесть необходимое и достаточное условие коллинеарности векторови.

В самом деле, пусть ,и. Тогда в соответствии с определением 4иколлинеарны.

Обратно. Пусть иколлинеарны. Так как,, можно рассмотреть векторыи.

В соответствии с определением 4 иколлинеарны, аналогичноиколлинеарны, но тогдаитоже коллинеарны.

Имеем и.

Таким образом, , т.е., илииоказывается равным вектору, умноженному на число.

Отметим следующие свойства умножения вектора на число:

3) ;

4) ;

5) .

Доказательство свойства 3.

Приложим векторы ик общему началу – произвольной точкеи построим на них как на сторонах параллелограмм (рис. 1.12).

Из подобия треугольниковинайдем, но, а тогда.

С другой стороны, , и свойство 3 доказано.

Свойства 4 и 5 очевидны из наглядных геометрических соображений, и доказательство их опустим.

Совокупность всех геометрических векторов с операциями сложения и умножения на число будем называть пространством геометрических векторови обозначать.