2.2. Уравнения гиперболического типа

2.2.1. Решение однородного волнового уравнения

Рассмотрим следующую задачу: найти закон колебания струны длиной l, если в начальный момент струне придана форма параболы

,

а затем струна отпущена без начальной скорости. Струна закреплена на концах. Внешние силы отсутствуют.

Все этапы решения этой конкретной задачи и рассуждения будут носить общий характер.

Задача сводится к решению однородного волнового уравнения

(2.2)

при однородных граничных условиях

(2.3)

и начальных условиях

. (2.4)

В уравнении (2.2) гдеT – усилие натяжения струны на опорах, а ρ – линейная плотность (масса единицы длины струны). Будем счи­тать, что струна однородна, тогда ρ = const.

Замечание. В общем случае начальные условия могут быть записаны в виде

(2.5)

где U₀(x), V₀(x) – заданные функции, характеризующие соответ­ственно начальные отклонения и начальные скорости точек струны.

Решение начально-краевой задачи (2.2–2.4) строится методом разделения переменных.

Сначала ищется частное ненулевое решение однородного урав­нения (2.2), удовлетворяющее лишь однородным граничным условиям (2.3), в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной:

(2.6)

Подставляя (2.6) в (2.2), получим

.

Разделив обе части равенства на , приходим к равенству

. (2.7)

В этом равенстве при изменении t левая часть, не зависящая от t, остается постоянной, поэтому будет постоянной и равная ей правая часть, то есть обе части равенства (2.7) не зависят от t. С другой стороны, при изменении x правая часть равенства, не зависящая от x, будет оставаться постоянной, значит, будет постоянной и не зависеть от x и равная ей левая часть. Таким образом, обе части равенства (2.7) не зави­сят ни от x, ни от t. Следовательно, они являются постоянными.

Обозначая эту постоянную (еë называют постоян­ной разделения) через , то есть принимая

,

получим два независимых обыкновенных линейных однородных дифференциальных уравнения второго порядка

, (2.8)

. (2.9)

Подставляя далее (2.6) в граничные условия (2.3), получим

. (2.10)

В результате, для определения функции X(x) приходим к задаче на собственные значения (2.9), (2.10) – задаче Штурма-Лиу­вил­ля. Эта задача имеет тривиальное решение X(x) ≡ 0, не представляющее физического интереса (так как тогда u(x, t) ≡ 0). Однако при некоторых значениях параметра λ, называемых собственными значениями, задача (2.9–2.10) имеет решения, не равные тождественно нулю. Эти решения называются собственными функциями.

Общее решение уравнения (2.9) будет

. (2.11)

Из первого граничного условия (2.10) следует B = 0. Подчиняя решение (2.11) второму граничному условию, получим

. (2.12)

Так как (иначеX(x) ≡ 0 и u(x, t) ≡ 0, то есть будет существовать только тривиальное решение), то должно выполняться условие

. (2.13)

Отсюда λl = nπ (n = 1, 2, 3,…). Следовательно, собственные значения задачи равны

. (2.14)

Соответствующие им собственные функции задачи (2.9–2.10) с точностью до множителя A будут

. (2.15)

С учетом (2.14) уравнение (2.8) запишется в виде

. (2.16)

Его общее решение имеет вид

. (2.17)

Подставляя (2.15) и (2.17) в (2.6) и суммируя частные решения линейного однородного уравнения (2.2), получим

. (2.18)

Произвольные постоянные A_n и B_n находим далее из началь­ных условий. В общем случае, подставляя решение (2.18) в (2.5), получим

, (2.19)

. (2.20)

Если функции U₀(x) и V₀(x) удовлетворяют условиям Дирихле, то произвольные постоянные имогут быть определены как ко­эффициенты Фурье для соответствующих функций при разложении их в ряды Фурье по синусам на промежутке [0,l], равном длине струны. Тогда

, (2.21)

. (2.22)

Выражение (2.18) с учетом (2.21) и (2.22) и даёт окончательное решение задачи о малых собственных поперечных колебаниях струны.

Для рассматриваемого конкретного случая, очевидно, B_n = 0, так как согласно (2.4) и (2.5) Подставляя в (2.21)

,

после двукратного интегрирования по частям получим

. (2.23)

Подстановка (2.23) в (2.18) с учетом B_n = 0 приводит к окон­чательному решению начально-краевой задачи (2.2–2.4) в виде

. (2.24)