2. Уравнения математической физики

2.1. Классификация уравнений и постановка задач математической физики

Большинство физических процессов различной природы модели­руется дифференциальными уравнениями в частных производных. Наи­более часто при этом встречаются линейные уравнения второго по­рядка. Их изучение и составляет предмет математической физики.

Дифференциальным уравнением в частных производных называется соотношение между искомой функцией нескольких переменных, её частными производными и независимыми переменными.

Для двух независимых переменных x и y дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка в общем случае имеет вид

.

Наивысший порядок частных производных, входящих в уравнение, определяет порядок дифференциального уравнения.

Уравнение называется линейным, если оно линейно относительно искомой функции и всех её производных. Линейное дифференци­альное уравнение в частных производных второго порядка с двумя независимыми переменными имеет следующий вид

. (2.1)

Коэффициенты линейного уравнения могут зависеть от переменных x, y. Тогда говорят, что уравнение (2.1) является уравнением с переменными коэффициентами. Если f(x, y) = 0, то уравнение (2.1) называется линейным однородным. В противном случае оно бу­дет линейным неоднородным.

Все многообразие уравнений математической физики может быть разделено на три класса. Уравнения каждого класса обладают общими свойствами ре­шений. В каждом из этих классов есть простейшее уравнение, назы­ваемое каноническим.

Принадлежность уравнения тому или иному классу определяется соотношением между коэффициентами при старших производных.

Если в некоторой области плоскости x0y дискриминант уравнения (2.1) , то говорят, что уравнение (2.1) будет в этой области уравнениемгиперболического типа.

Если в некоторой области плоскости x0y дискриминант то в этой области уравнение относится кпараболическому типу. Наконец, если в некоторой об­ласти то уравнение в этой области будет уравнениемэллиптического типа.

Основными уравнениями математической физики являются:

1). Волновое уравнение

.

Это однородное уравнение гиперболического типа. Оно описывает процессы поперечных колебаний струн, продольные колебания стержней, крутильные колебания валов, колебания тока и напряже­ния в проводах и другие динамические процессы (здесь и далее x ­– пространственная координата, t – время).

2). Уравнение теплопроводности

.

Это однородное уравнение параболического типа. Оно описыва­ет процессы распространения тепла в стержнях, задачи фильтрации жидкостей и газов в пористых средах и др.

3). Уравнение Лапласа

.

Это однородное уравнение эллиптического типа. Уравнение Лапласа не содержит времени (x и y – пространственные координа­ты) и описывает стационарные процессы в электрических и магнит­ных полях, задачи стационарной теплопроводности, многие стацио­нарные задачи гидродинамики, диффузии, прочности и др.

Любое дифференциальное уравнение математической физики имеет бесчисленное множество решений. Для получения единственного решения необходимо задание дополнительных условий, которые поз­воляют однозначно описать конкретный физический процесс. Коли­чество и вид этих условий зависят от характера и порядка произ­водных, входящих в уравнение, от формы области, в которой ищется решение уравнения, от характера взаимодействия рассматриваемого тела (или процесса в выделенном теле) с окружающей средой.

В общем случае дополнительными условиями могут быть начальные и граничные условия.

Начальные условия описывают состояние системы в начальный момент времени. Для уравнения гиперболического типа ставятся два начальных условия соответственно второму порядку производной по времени, входящей в уравнение. Они характеризуют величины откло­нений и скоростей точек тела (струны, стержня и др.) в началь­ный момент времени. Для уравнения параболического типа ставится одно начальное условие, что соответствует первому порядку произ­водной по времени (если искомая функция в уравнении теплопро­водности u(x, t) – температура в произвольном сечении стержня в лю­бой момент времени t, то начальным условием задается распределе­ние температуры по длине стержня в начальный момент времени t = 0).

Граничные условия для волнового уравнения (если оно описы­вает, например, поперечные колебания струны конечных размеров) характеризуют поведение концов струны в процессе колебаний и за­висят от характера их закрепления.

Для уравнения теплопроводности стержня граничные условия имеют существенно различный вид в зависимости от характера теп­лообмена концов стержня с окружающей средой.

Для уравнения эллиптического типа, как и для уравнения па­раболического типа, также различают разные краевые задачи в за­висимости от условий на контуре рассматриваемой области.

Так, если на границе Г области задано значение искомой функции:

,

то говорят, что для уравнения Лапласа поставлена первая краевая задача (задача Дирихле).

Если на границе области задано значение производной искомой функции по направлению нормали к границе:

,

то говорят, что для уравнения Лапласа поставлена вторая краевая задача (задача Неймана).

Если на границе области задано условие, связывающее искомую функцию и её производную

,

то поставлена третья или смешанная краевая задача. Здесь u₀, u₁, u₂, – непрерывные функции, определённые на границе.

Итак, постановка задачи математической физики включает в себя задание дифференциального уравнения в частных производных, описывающего исследуемый процесс, а также в общем случае граничных и начальных условий, позволяющих получить единственное решение.

Если задача математической физики поставлена корректно, то её решение существует, единственно и устойчиво к малым изменениям исходных данных.

Ниже рассмотрены примеры решения основных уравнений матема­тической физики различного типа, аналогичных тем, которые встре­чаются в расчётно-графической работе. Решение задач строится ме­тодом Фурье (методом разделения переменных). Этот метод является одним из наиболее общих методов математической физики, пригодным для решения уравнений гиперболического, параболического и эллип­тического типов в различных областях.