2.4.2. Решения уравнения Пуассона

Пример. Найти функцию , удовлетворяющую неоднородному уравнению Лапласа – уравнению Пуассона

(2.107)

и однородным граничным условиям на прямоугольном контуре (см. рис.2.2)

. (2.108)

Рис.2.2.

Решение. Будем искать решение задачи (2.107–2.108) в виде разложения в ряд по собственным функциям однородной задачи

. (2.109)

При этом удовлетворяются граничные условия на вертикальных сторонах области x = 0 и x = a. Функцию Y_n(y) следует определить так, чтобы функция u(x, y) удовлетворяла уравнению (2.107) и граничным условиям на горизонтальных границах y = 0 и y = b. Для этого подставляем (2.109) в уравнение (2.107). Тогда получим

. (2.110)

В левой части уравнения имеем ряд Фурье по синусам на промежутке [0, a]. Разложим функцию в правой части (2.110) также в ряд Фурье по синусам на том же промежутке:

, (2.111)

. (2.112)

Подставляем выражение (2.111) с учётом (2.112) в правую часть уравнения (2.110):

.

В результате для определения функции Y_n(y) приходим к обыкновенному линейному неоднородному дифференциальному уравнению второго по­ряд­ка с постоянными коэффициентами:

. (2.113)

Однородное уравнение, соответствующее уравнению (2.113), совпадает с (2.90), и его общее решение согласно (2.91) имеет вид

.

Частное решение неоднородного уравнения (2.113) легко находится методом подбора:

.

В результате общее решение уравнения (2.113) примет вид

. (2.114)

После подстановки (2.114) в равенство (2.109) получаем

. (2.115)

Функция u(x, y) в выражении (2.115) удовлетворяет уравнению (2.107) и граничным условиям на сторонах x = 0 и x = a. Константы α_n и β_n найдём из условия удовлетворения граничным условиям на горизонтальных сторонах области y = 0 и y = b.

При y = 0 из условия u(x, 0) = 0 имеем

,

откуда в силу произвольности функции следует

. (2.116)

При y = b из условия u(x, b) = 0 с учетом α_n = 0 находим

,

и, следовательно

.

Из последнего равенства находим

. (2.117)

Подставляя (2.116) и (2.117) в (2.115), окончательно получим решение поставленной задачи в виде

.

Пример. Две стороны AC и BC прямоугольного однородного бруса 0ACB покрыты тепловой изоляцией (на рисунке 2.3 они выделены жирными линиями), а две другие поддерживаются при температуре, равной нулю. Найти стационарное распределение температуры при условии, что в брусе выделяется тепло с плотностью

Рис.2.3.

Решение. Задача сводится к решению уравнения

, (2.118)

при краевых условиях

, , (2.119)

, . (2.120)

Здесь k – коэффициент внутренней теплопроводности.

Сначала находим решение однородного уравнения Лапласа (2.80) методом разделения переменных, принимая, как обычно, согласно (2.84)

.

Тогда после обычных преобразований, характерных для метода разделения переменных, получаем для функций X(x) и Y(y) независимые обыкновенные линейные однородные уравнения (2.86), (2.87). Подставляя далее (2.84) в граничные условия (2.119), получим

. (2.121)

Таким образом, для определения функции X(x) приходим к задаче на собственные значения (2.86), (2.121). Собственные значения этой задачи будут

, (2.122)

а соответствующие собственные функции с точностью до множителя будут равны

. (2.123)

Раскладываем далее искомую функцию u(x, y) и правую часть в уравнении (2.118) в обобщённые ряды Фурье по системе ортогональных на [0, a] функций (2.123):

, (2.124)

. (2.125)

При этом коэффициенты C_n определяются по формуле (1.24):

. (2.126)

Подставляя (2.124) и (2.125) в уравнение (2.118), получим обык­новенное линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка относительно функции Y_n(y)

. (2.127)

Общее решение однородного уравнения (2.127) находим, как и для уравнения (2.90), в виде

.

Частное решение неоднородного уравнения (2.127) при постоянной правой части, как легко видеть, будет равно

.

Поэтому общее решение уравнения (2.127) запишется в виде

. (2.128)

Подставляя (2.128) в (2.124), получим

. (2.129)

Произвольные постоянные α_n и β_n в общем решении (2.129) находим из граничных условий (2.120) на горизонтальных сторонах области.

При y = 0 имеем

,

откуда в силу произвольности функции следует:

. (2.130)

Из второго граничного условия (2.120) с учетом (2.130) получим

. (2.131)

Подставляя (2.130) и (2.131) в (2.129) и используя формулу сложения для гиперболических функций

,

после несложных преобразований получим окончательное решение задачи в виде

.

Пример. Найти решение уравнения Пуассона

(2.132)

в прямоуголь­ной области при следующих граничных условиях

, , (2.133)

, . (2.134)

Решение. Решая сначала, как и в предыдущем примере, однородное уравнение Лапласа (2.80) методом разделения переменных и используя представление (2.84)

,

с учетом граничных условий (2.133) на вертикальных сторонах области для определения функции X(x) приходим к задаче на собственные значения

. (2.135)

Собственные значения этой задачи будут

(2.136)

а соответствующие собственные функции с точностью до множителя

. (2.137)

Далее раскладываем в ряды Фурье по собственным функциям однородной задачи искомую функцию u(x, y) и правую часть уравнения (2.132):

, (2.138)

, (2.139)

при этом

. (2.140)

Подставляя (2.138) и (2.139) в (2.132), после обычной процедуры приходим к обыкновенным линейным неоднородным уравнениям второго порядка относительно функций Y_n(y) (n = 0, 1, 2,…):

, (2.141)

. (2.142)

Подставляя (2.138) в граничные условия (2.134), в силу линейности задачи (2.132–2.134) представим граничные условия для функций Y₀(y) и Y_n(y) в виде

, (2.143)

, (n = 1, 2,…). (2.144)

Таким образом, для определения функций Y₀(y) и Y_n(y) приходим к краевым задачам (2.141) и (2.143) и соответственно (2.142) и (2.144). Общее решение однородного уравнения (2.141) будет

,

а общее решение однородного уравнения (2.142), как было показано выше, имеет вид

(n = 1, 2,…).

Частные решения уравнений (2.141–2.142) находятся методом подбора или методом вариации произвольных постоянных. Далее должны быть определены произвольные постоянные в общих решениях уравнений (2.141–2.142)

, (2.145)

(n = 1, 2,…). (2.146)

из граничных условий (2.143), (2.144).

Окончательное решение поставленной задачи запишется после подстановки (2.145) и (2.146) с учётом найденных значений произвольных постоянных в (2.138).