ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ / Ответы на вопросы по теории вероятности прошлых лет / 04. Зависимость событий. Теорема умножения вероятностей (вывод)

4. Зависимость событий. Теорема умножения вероятностей (вывод).

Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет.

Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Пример: Опыт состоит в бросании двух монет, выпадает решка или орел. Эти два события независимы друг от друга.

Пример: В урне два белых шара и один черный, два лица вынимают из урны по одному шару, рассматриваются события:

А – появление белого шара у 1-ого лица

В – появление белого шара у 2-ого лица

Вероятность события А до того, как известно что-либо о событии В, равна 2/3. Если стало известно, что событие В произошло, то вероятность события А становится равной ½, из чего заключаем, что событие А зависит от события В.

Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается

Р(А/В)

Для условий последнего примера

Р(А)=2/3

Р(А/В)=1/2

Условие независимости события А от события В можно записать в виде:

Р(А/В)=Р(А)

А условие зависимости – в виде:

Р(А/В)≠Р(А)

Важное замечание: Если выполняется условие

Р(А)Р(В)=Р(АВ), то А и В – независимы.(критерий проверки независимости событий)

Теорема умножения вероятностей формулируется следующим образом:

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место :

Р(АВ)=Р(А)Р(В/А) (2)

Докажем теорему умножения для схемы случаев. Пусть возможные исходы опыта сводятся к n случаям, которые мы для наглядности изобразим в виде n точек:

Предположим, что событию А благоприятны m случаев, а событию В благоприятны k случаев. Так как мы не предполагали события А и В несовместными, то вообще существуют случаи, благоприятные и событию А, и событию В одновременно. Пусть таких случаев l. Тогда

Р(АВ)=l/m; Р(А)=m/n

Вычислим Р(В/А), т. Е условную вероятность события В в предположении, что А имело место. Если известно, что событие А произошло, то из ранее возможных n случаев остаются возможными только те m, которые благоприятствовали событию А. Из них l случаев благоприятны событию В. Следовательно

Р(В/А)=l/m

Подставляя выражения Р(АВ), Р(А), Р(В/А) в формулу (2) получим тождество. Что и требовалось доказать.

С л е д с т в и е 1. Если событие А не зависит от события В, то и В не зависит от события А.

С л е д с т в и е 2. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.