А) б) в)

Рис.28

Решение.

Определим удлинение ступенчатого стержня от действия силы P. Поскольку силаР приложена на стыке двух частей стержня разного профиля, а правых конец свободен, то его удлинение определяется деформацией участка АС:

отсюда следует, что

Сопоставляя ∆l и δ видно, что зазор при действии силы Р закроется, поэтому система является статически неопределимой. Для раскрытия статической неопределимости составим уравнение совместности деформаций. Поскольку при закрытии зазора в опорном сечении В появится реакция, то общее удлинение стержня АВ, определяется как сумма удлинений от усилий Р и R_B, должно быть равно зазору δ.

R_B = 135 кН.

Определив усилия R_B, можно построить эпюру продольных сил N в стержне. Определим напряжение σ на каждом участке стержня АВ:

участок СВ:

участок АС:

Строим эпюру напряжений σ.

Теперь, найдем усилия и напряжения в стержне при нагреве стержня ∆t = 30 K. Если при этом расширение стержня по длине превышают длину δ, то опорных реакциях А и В возникают одинаковые реакции, которые определяются из уравнения совместности деформаций:

отсюда следует, что

∆l₁ = a·l₁·∆t = 17·10^-6·1·30 = 0,00051 м;

∆l₂ = a·l₂·∆t = 17·10^-6·0,8·30 = 0,000408 м;

R_B= 43,7 кН.

Полученная величина R_B будет действовать по всей длине стержня, поэтому эпюра N будет постоянной величиной.

Величины напряжений на участках могут быть вычислены по формулам:

участок СВ:

участок АС:

Строим эпюры (рис.29).

Рис.29

Пример 12

Ступенчатый стальной стержень (рис.30), имеющий продольные размеры и площади поперечного сечения нагружен по оси продольными силами и .

Дано: , , , , .

Модуль упругости для стали E=200 ГПа.

Требуется:

1) Построить эпюры нормальных сил и нормальных напряжений под действием внешних сил;

2) Построить эпюры нормальных сил и нормальных напряжений под действием температуры.

Рис.30

Решение.

1) Проверим, не перекрывается ли зазор удлинением стержня под действием сил.

Разделим стержень на четыре зоны (рис.31), и рассчитаем удлинение u для каждой зоны.

Рис.31

Суммарное удлинение будет равно

м.

Суммарное удлинение больше, чем зазор, следовательно, система является статически неопределимой.

Отбросим заделку и представим, что на стержень снизу действует реакция опоры .

Составим уравнение реакции.

откуда

Построим эпюры:

N σ

Рис.32

В зоне IV продольные усилия равны , а напряжения

В зоне III продольные усилия равны , а напряжения

В зоне II продольные усилия равны , а напряжения

В зоне I продольные усилия равны , а напряжения

2) Теперь посчитаем продольные усилия и нормальные напряжения в сечении стержня под влиянием температуры без учета внешних сил.

При увеличении температуры, стержень увеличивается и упирается в заделку, возникает сила реакции опоры, рассчитав которую можно найти усилия и напряжения.

Удлинение стержня:

где - температурный коэффициент, для стали равный .

Найдем реакцию опоры:

откуда