10.4. Пример сравнительной оценки точности измерений на основе концепции погрешности и неопределенности.

1. Данные, имеющие в распоряжении оператора, задача которого состоит в измерении силы тока с помощью вольтметра и токового шунта [6].

Уравнение измерения

где I – сила измеряемого тока, V – напряжение на шунте, которое измеряется для определения силы тока, R – сопротивление шунта, t⁰C – температура окружающей среды, способная повлиять на результаты измерения силы тока.

Производится многократное (n=10) измерение напряжения с помощью вольтметра на сопротивлении шунта при температуре t = (23,00±0,05)⁰С.

Границы неисключенной систематической погрешности вольтметра в милливольтах определены при его калибровке в виде следующего выражения:

(10-15)

Сопротивление шунта определено при его калибровке для тока величиной I=10 А и температуре t=23,00⁰C и равно R₀ = 0,010088 Ом. Относительные границы неисключенной систематической погрешности сопротивления шунта, установленные при его калибровке, равны , тогда приR=R₀ получают

Ом (10-16)

Границы неисключенной систематической составляющей погрешности значения сопротивления шунта, обусловленной погрешностью изменений температуры, определяются зависимостью , гдеR₀ – значение сопротивлении при t = t₀ (t₀=23,00⁰C; R₀ = 0,010088 Ом); α – температурный коэффициент ( = 6∙10^-6 К^-1). В случае, когда границы погрешности измерения температуры составляют t, границы соответствующей составляющей погрешности значения сопротивления равны θ_t,R=α∙t·R. При t=0,05⁰С получаем θ_t,R = 3,0∙10^-9 Ом

2. Нахождение результата измерений. В результате серии из n=10 измерений получают ряд значений V_i в милливольтах:

100,68; 100,83; 100,79; 100,64; 100,63; 100,94; 100,60; 100,68; 100,76; 100,65.

Среднее арифметическое вычисляют по формуле (10-2)

мВ

Результат измерения силы тока получают по формуле

Ом (10-17)

3. Анализ источников погрешности результата измерений. Среднеквадратическое отклонение, характеризующее случайную составляющую погрешности при измерениях напряжения , вычисляют по формуле (10-4)

(10-18)

Границы неисключенной систематической погрешности вольтметра при в соответствии с формулой (10-15), будут равны

=5,0 10^-2 мВ

Границы неисключенной систематической погрешности сопротивления шунта, в соответствии с (10-16), установленные при его калибровке, равны

Ом

Границы неисключенной систематической составляющей погрешности значения сопротивления шунта, обусловленной погрешностью измерений температуры равны θ_t,R = 3,0∙10^-9 Ом или  θ_t,R = 3,0·10^-5 %. Эту составляющую в виду ее малости по сравнению с другими составляющими можно не учитывать.

4. Вычисление характеристик погрешности результата измерений. Для вычисления результирующей погрешности измерения, состоящей из случайной и суммы неисключенных систематических погрешностей, используется формула для косвенных измерений:

(10-19)

где все составляющие погрешности определены при одной и той же доверительной вероятности Р. В числителе сумма доверительных границ случайной и суммарной неисключенной погрешности, в знаменателе – сумма СКО случайной и СКО суммарной неисключенной систематической погрешности, а – СКО суммарной погрешности измерения,

,

где k=1,1 при Р=0,95 и k=1,4 при Р=0,99 и m4. Для других значений Р и m значения коэффициента k можно найти в [66].

Ниже приводится вычисление всех составляющих погрешностей, входящих в формулу (10-19).

Делается предположение о равномерном распределении неисключенных систематических составляющих погрешности результата измерений внутри их границ _V и _R. При этом СКО суммарной неисключенной систематической составляющей погрешности результата измерений силы тока S_ определяют по формуле

(10-20)

В этой формуле учтено, что коэффициенты влияния

Доверительные границы суммарной неисключенной систематической погрешности результата измерений силы тока (р) при доверительной вероятности Р=0,95 оценивают по формуле

(10-21)

СКО случайной составляющей погрешности результата измерений силы тока S определяется по формуле

(10-22)

Тогда СКО суммарной погрешности результата измерений силы тока будет равно

- (10-23)

Вычисление отношения показывает, что оно равно 2,8, поэтому вычисление суммарной погрешности производится по формуле (10-19).

Доверительные границы погрешности результата измерений силы тока при доверительной вероятности 0,95 и эффективном числе степеней свободы , вычисленные по формуле (10-19), будут равны

 _{Р = 0,95}= 0,012 А (10-24)

5. Вычисление неопределенности измерений. По типу А вычисляют стандартную неопределенность, обусловленную источниками неопределенности, имеющими случайный характер:

мВ

Стандартную неопределенность силы тока, обусловленную источниками неопределенности, имеющими случайный характер, определяют по формуле

(10-25)

По типу В вычисляют стандартные неопределенности, обусловленные источниками неопределенности, имеющими систематический характер (соотношения (10-15) – (10-17). Закон распределения величин внутри границ считают равномерным.

Стандартную неопределенность u_B,V вычисляют по формуле

Границы, внутри которых лежит значение сопротивления шунта, определены при калибровке шунта и равны 710^-4R. Соответствующую стандартную неопределенность при R=R₀ вычисляют по формуле (10-6)

Границы изменения значения сопротивления шунта, обусловленного изменением температуры, равны Соответствующую стандартную неопределенность вычисляют также по формуле (10-6)

В дальнейшем этой составляющей неопределенности ввиду ее малости по сравнению с другими составляющими пренебрегают.

Суммарную стандартную неопределенность u_B определяют по формуле

, (10-26)

а суммарную стандартную неопределенность u_C – по формуле

(10-27)

В табл. 10-3 приведен бюджет неопределенности этого измерения.

Эффективное число степеней свободы рассчитывают по формуле (10-11)

Таблица 10-3

Бюджет неопределенности измерений силы электрического тока

Вели- чина	Оценка	Стандартная неопределенность	Закон распределения	Коэффициент Чувствитель- ности (по модулю)		Вклад в суммарн. стандартн. неопредл.
V	100,72 мВ	3,4·10-2 мВ	A (норм.)			3,4·10-3 A
θV	5,0·10-2 мВ	2,9·10-2 мВ	B (равн.)	То же		5,0·10-3 A
θR	7,1·10-6 Ом	4,0·10-6 Ом	B (равн.)			2,66·10-3 A
Θt,R	3,0·10-9 Ом	Не учитывается в дальнейших расчетах в виду малости по сравнению с другими составляющими
I	I=f(V,R)	uA= 3,4·10-3 A uB= 5,0·10-3 A			6,0·10-3 A

(10-28)

Коэффициент охвата k находят по табл. Стьюдента при Р=0,95 (прил.11)

(10-29)

Затем определяют расширенную неопределенность U_0,95 по формуле (10-10)

(10-30)