Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ЯФ / Учебные пособия / Бекман И.Н. Ядерная физика.pdf

Скачиваний:

2566

Добавлен:

27.03.2016

Размер:

15.8 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 1278 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

4.4 Разветвленный распад

Разновидностью общей схемы радиоактивного распада является разветвленный распад. Ветвление означает, что при распаде радионуклида образуется не один дочерний нуклид, а два (иногда и несколько) нуклида:

A	λb	(45)
A	→B	(45)
	λc
	→C

Если число атомов вещества А в данный момент – NA, то скорость этого распада вещества составляет:

dN A	=−	λ −λ		N	A	=−λ	N	A	(46)
dt
		b	c			A

При рассмотрении общего процесса распада следует учитывать обе константы λb и λc; при этом изотоп В образуется со скоростью λbNA, однако вещество А распадается со скоростью (λb+λc)NA. Заметим, что А может иметь только один период полураспада, определяемый в этом случае равенством t1/2=0.693/(λb+λc). При

определении периода полураспада исходят из общей скорости уменьшения количества радиоактивного вещества вне зависимости от механизма процессов, приводящих к уменьшению активности.

Если имеется цепочка радиоактивных превращений, содержащая разветвления, то, применяя к ней общее решение константы λi в числителях слагаемых в точках разветвления следует заменить парциальными

константами λi*; каждую ветвь надо просчитывать самостоятельно. Если вслед за разветвлением цепочки после

ряда распадов снова соединяются (как это наблюдается в естественных радиоактивных семействах), то число атомов ниже этой точки получается суммированием радиоактивных превращений по обеим цепочкам.

При наличии разветвлений общая величина константы радиоактивного распада равняется сумме констант распада в каждом из возможных направлений: λ=Σλi Соответственно, вероятность каждого из возможных путей распада fi=λi/λ, а период полураспада данного i-го варианта радиоактивного превращения связан с наблюдаемым общим периодом полураспада соотношением Ti=T/fi

Если обозначить постоянную распада некоторого нуклида ряда как λi, то общая постоянная распада

	λ ≡ λ1 + λ2 +...+ = ∑λi							(47)
а общий период полураспада					i=1

1			1		1	N	1
		=		+		+... ≡ ∑		(48)
	Т1/ 2		Т1,1/ 2		Т2,1/ 2		Тi,1/ 2
						i=1

Доля распадов, происшедших по i-ой моде задаётся уравнением:

f	i	≡	λi	=	λi	(49)
f		≡	Σλ	=	λi	(49)
			Σλ		λ
			i

Аналогично, неточность в энергии, связанная с данным состоянием, Е, принципом неопределённости Гайзенберга, может быть рассчитана из времени жизни каждой моды распада. Тогда общая ширина уровня:

Г=Г1+Г2+Г3+…= ∑Гi (50)

i=1

	где Γ =	1
	где Γ =	τ
	i	τ
		i

Это соотношение особенно полезно в интерпретации состояний распада, сформированных внутриядерными реакциями, в которых конкурируют такие процессы, как α-распад, эмиссия протонов, эмиссия нейтронов и т.п. при снятии возбуждения ядра. В этом случае мы можем выразить общую ширину как

Г=Гα+Гр+Гn (51)

N5a (t)

N5b (t)

																																																					Рис. 16. Распад радона-220 (торон) и его активного налета, Цепочка:
																																																										Tn(1)—ThA(2)—ThB(3)—ThC(4)—[(вилка)—66%ThC’(5a)—
																																																					34%ThC’’(5b)],										N1(t)=N0*exp(-λ1t),																	N 2 (t) = N10									λ1					(exp(− λ1t)− exp(− λ2t)),
																																																					34%ThC’’(5b)],										N1(t)=N0*exp(-λ1t),																	N 2 (t) = N10						λ		2	−		λ			(exp(− λ1t)− exp(− λ2t)),
																																																																																								2				1						exp(− λ3t)
																																																																						exp(− λ1t)											exp(− λ2t)																	exp(− λ3t)
																																																										N3(t) = N10λ1λ2																						+															+										,
																																																										N3(t) = N10λ1λ2								(λ		2	−		λ	)* (λ		3		−		λ	)	+	(λ −	λ	2	)* (λ				3	− λ			2	)		+		(λ	− λ	3	)* (λ	2	− λ	3	)	,
																																																																				2			1			3				1			1		2					3				2		1					3		2		3
																																																																exp(− λ1t)									+								exp(− λ2t)
																																																																																													+
																																																						N			(t) = N	λ λ λ		(λ		− λ )* (λ − λ					)* (λ			4	− λ )				(λ			−	λ	)* (λ −		λ		)*	(λ			−		λ	2	)	+
																																																						N		4	(t) = N	λ λ λ		2			1	3	1					4		1				1			2		3	2			t)		4				2					,
																																																								4		10 1 2 3						exp(− λ t)																	exp(− λ				t)
																																																											+							3								+								4
																																																											+		(λ		− λ	)* (λ	−	λ )			*	(λ		− λ )		+			(λ		−	λ	)* (λ	−λ )* (λ								−λ					)
																																																														1	3	2			3				4	3						1		4	2			4					3			4
													exp(− λ1t)																															+

		(λ		2	− λ )* (λ					3	− λ )* (λ										4		−		λ			)	*	(λ			5a				−		λ			)
				2		1				3					1						4						1						5a							1
															exp(− λ2t)
	+																																																	+
	+			(λ		− λ	2	)*		(λ	3			− λ		2			)*		(λ			4		− λ			2	)* (λ							5a		− λ						2			)		+
					1		2				3					2								4					2								5a								2
															exp(− λ3t)
= N10λ1λ2λ3λ4 pa															exp(− λ3t)
= N10λ1λ2λ3λ4 pa	+ (λ					− λ	3	)*		(λ	2			− λ		3			)*		(λ		4			− λ			3	)*				(λ		5a			− λ						3		) +
					1		3				2					3							4						3							5a									3
															exp(− λ4t)
	+														exp(− λ4t)																																			+
	+			(λ		− λ		)*		(λ																				)* (λ								− λ										)		+
				(λ		− λ	4	)*		(λ	2			− λ			4		)* (λ					3		− λ			4	)* (λ							4	− λ					5a					)
					1		4				2						4							3					4								4						5a
																exp(− λ5a t)
		+														exp(− λ5a t)																																						+
		+		(λ		− λ	5a		)* (λ				2		−	λ			5a	)* (λ							3	− λ				5a			)	* (λ				4			− λ						5a			)		+
				(λ		− λ			)* (λ						−	λ				)* (λ								− λ							)	* (λ							− λ									)
					1
													exp(− λ1t)																														+

		(λ		2	− λ )* (λ					3	−		λ )			*			(λ	4		−			λ			)	*	(λ			5b				−	λ			)
				2		1				3					1					4							1						5b							1
															exp(− λ2t)
	+																																																+
	+			(λ		− λ	2	)* (λ			3		− λ			2			)*		(λ		4			− λ			2	)*				(λ		5b			− λ						2		)		+
					1		2				3					2							4						2							5b									2
															exp(− λ3t)																																								A1=N1λ1; A2=N2λ2, A3=N3λ3, A4=N4λ4, A5a=N5aλ5a, A5b=N5bλ5b. Т1=54.5 с;
= N10λ1λ2λ3λ4 pb +																																																+
= N10λ1λ2λ3λ4 pb +			(λ			− λ	3	)* (λ			2		− λ			3			)* (λ				4		− λ				3	)*			(λ			5b			− λ					3		)		+
					1		3				2					3							4						3							5b								3
															exp(− λ4t)
	+														exp(− λ4t)																																			+
				(λ		− λ	4	)* (λ			2		− λ			4			)*		(λ		3			− λ			4	)*				(λ		4		− λ					5b				)
					1		4				2					4							3						4							4							5b
															exp(− λ5bt)
		+													exp(− λ5bt)
		+		(λ		− λ	5b		)* (λ			2			− λ			5b		)* (λ						3		− λ			5b			)* (λ					4			−			λ			5b			)
				(λ		− λ			)* (λ						− λ					)* (λ								− λ						)* (λ								−			λ						)
					1

Т2=0,158 с; T3=3.852*104 с; Т4= 1.766*10-5 с; Т5а=2.9*10-7 с; Т5b=3.727*10-3

с; N10=10000. а) Активность изотопов 1 (кривая 1) и 2 (кривая 2). Ранние времена; б) Активность изотопов 1 (кривая 1) и 2 9кривая 2) Средние времена; в) Активность изотопа 3. Средние времена; г) Активности изотопов 3 (кривая 1) и 4 (кривая 2). Большие времена; д) Активности изотопов 4 (кривая 1), 5а (кривая 2), 5б (кривая 3) и суммарная активность изотопов 5 (кривая 4); е) Активность изотопа 4 (кривая 1) и суммарная активность изотопа 5 (кривая 2).

Рис. 17. Распад активного налета (дочерних продуктов распада)

торона (220Rn). Логарифмический масштаб.

Пример 1. Нуклид 64Cu (Т1/2=12,7 час) распадается по двум каналам: электронный захват (61%) и β- - распад (39%). Чему равны периоды полураспада по каждому каналу? Чему равна парциальная ширина распада по электронному захвату?

Решение. λ=ln2/12,7 час=5,46х10-3 ч-1; λ=λЭЗ+λβ=λЭЗ+(39/61)λЭЗ; λЭЗ=3,329х10-2 ч-1; Т1/2,ЭЗ=(ln2)/λЭЗ=20,8ч; λβ=(39/61)λЭЗ=2,128x10-2 ч-1; Т1/2,β=(ln2)/λβ=32,6 ч; τЭЗ=Т1/2,ЭЗ/ln2=30 ч=108131 с;

ГЭЗ=ħ/τ=6,582x10-22 МэВ c/ 108131 c=6,1x10-27 МэВ. Все радиоактивные ядра естественного происхождения имеют малые парциальные ширины. Как Вы заметили, 64Cu способен распадаться и на 64Zn и на 64Ni. Это не обычно, но всё же может происходить с некоторыми нечётно – нечётными ядрами.

В качестве других примеров, на Рис. 16 и 17 приведены кривые распада торона (радона – 220) и образование активного налета. Рассматривался участок ряда:

−7

↑ 66% →ThC' 2.9 x10 c →

(52)

220 Rn 54.5c →ThA 0.158c →ThB 10.7час→ThC 10.9час→

↓ 34% →RaC'' 3.1мин→

Здесь продукты распада существенно более долгоживущие по сравнению с радоном, но тоже имеется вилка.

4.5Степень равновесности

Взависимости от схемы распада радиоактивные цепочки могут быть простыми (линейные) или сложными (с ветвлениями). В сложных цепочках важно знать коэффициенты ветвления, характеризующие

приходящуюся на данный вид превращения долю переходов. Степень равновесности ηi дочерних радионуклидов по отношению к материнскому определяется соотношением их периодов полураспада,

ηi =

Ni λi

NiT1

(53)

Для первого дочернего элемента:

N1λ1

N1Ti

N2λ2

λ2

{1− exp[−

(λ

− λ )t]}

(54а)

N1λ1

λ2

− λ1

exp[− (λ2 − λ1 )t]

exp[− (λ3 − λ1 )t]

η3 =

N3λ3

= λ2

−

λ3

(54б)

N λ

(λ

−

λ )(λ

− λ )

(λ

− λ

)(λ

− λ

)

(λ

− λ

)(λ

− λ

)

1 1

и т.д.

Таким образом, если символом А обозначить активность, гамма-эквивалент, энергетический выход или гамма-постоянную, то при наличии простой цепочки суммарные характеристики будут определяется соотношением:

n
A = A1 + ∑Aiηi .	(55)

i =2

В сложной цепочке с коэффициентами ветвления ωi суммарные характеристики определяются соотношением:

n
A = A1 + ∑ωi Aiηi .	(56)

i=2

Замечание. Приведенные здесь выражения следует учитывать при использовании значений энергетических выходов и гамма-постоянных радиоактивных нуклидов для дозиметрических расчетов.

4.6 Примеры радиоактивных распадов

Ториевый ряд.

Два изотопа могут находиться в различном соотношении в зависимости от того, в каком равновесии они находятся. Пусть 212Pb(ThB) отделен от всех других изотопов. После истечения 10 час он придет в равновесие с дочерним 212Bi(ThC). В данном случае 212Bi находится в подвижном равновесии с 212Pb. Но 212Pb и 212Bi могут находиться в вековом равновесии с 232Th, родоначальником этого ряда. В первом случае количество дочернего 212Bi определяется из соотношения:

n	λPb		1.82 10−5
NBi = NPb		= NPb			= 0.105NPb
	λBi − λPb		1.91 10−4	−1.82 10−5

Во втором случае с тем же количеством 212Pb находится уже другое количество 212Bi:

N Bib = NPb λλPb = 0.095NPb,

т.е.	N Bin	=	λBi	=1.105.
	N b
			λBi − λPb
	Bi

Этот пример показывает, что при соизмеримых периодах полураспада необходимо учитывать, какой тип равновесия связывает интересующую нас пару изотопов.

Распад мезотория. Если между двумя радиоактивными изотопами в ряду распада находится короткоживущий изотоп, то можно при расчетах принимать, что третий изотоп образуется непосредственно из первого. Примером

может служить переход MsThI (228Ra) через MsThII (228Ac) в RdTh (228Th) MsTI λ1 →MsThII λ2 →RdTh λ3 →

Т1=6.7 года, Т2=6.13 часа, Т3=1.9 года.

Действительно, количество атомов RaTh:

N3 = N10λ1λ2[			e−λ1t			+		e−λ2t				+		e−λ3t			]
	(λ	2	− λ )(λ − λ )				(λ − λ		)(λ − λ	2	)		(λ − λ )(λ		2	− λ )
			1	3	1	1		2	3		1			3		3

при условии λ2>>λ1 и λ2>>λ3, а также e-λ2t=0 имеем:

= N

λ λ

[

e−λ1t

−λ2t

] =

−λ t

− e

−λ t

)

10 1

(λ

− λ )

(λ

− λ )

− λ

10 1 2

т.е. практически накопление третьего изотопа цепочки происходит так, как будто он образуется непосредственно из первого.

Продолжим цепочку

MsTI λ1 →MsThII λ2 →RdTh λ3 →ThX λ4 →

(Т4=3.64 дня) и рассмотрим образование ThX (224Ra).

Вследствие малого периода полураспада MsThII его количество можно не учитывать. Обозначим числа атомов в начальный момент времени (t=0) для MsThI, RdTh и ThX через M0, R0 и X0 соответственно.

Количество атомов ThX для момента времени t обозначим через Х; оно состоит из трех слагаемых: числа атомов, оставшихся к моменту времени t от начального количества их Х0, т.е. ϕ(Х0); числа атомов ThX, образовавшихся

из R0 атомов радиотория ϕ(R0), и числа атомов ThX, образовавшихся из M0 атомов MsThI ϕ(M0).

X=ϕ(X0)+ϕ(R0)+ϕ(M0)

Значение каждого из этих слагаемых вычисляется по общим формулам. Обозначим константы распада ThX, RdTh и MsThI через λX, λR, λM, может написать три выражения для определения чисел атомов, указанных выше:

ϕ(X 0 ) = X 0e−λX t
ϕ(R ) =	R0λR		(e−λRt − e−λX t )

0	λX	− λR

ϕ(M 0 ) = M				e−λM t		e−λRt
		0λM λR [			+		+
				(λR − λM )(λX − λM )		(λM − λR )(λX − λR )

e−λX t

+ (λM − λX )(λR − λX )]

Производя суммирование, получим выражение для общего количества атомов ThX к моменту времени t:

M λ

−λ t

X = X 0 −

M R

λX − λR

(λM − λX )(λR − λM )

−λ

−λ t

λX −λR

(λR −λM )(λX −λM )

(λM −λR )(λX −λR )

Taк как величина радиоактивной постоянной λХ значительно больше двух других, а именно λХ=0.19 д-1, λR=10-

3 д-1, λХ=2.8x10-4 д-1, то можно упростить полученное выражение для случаев, когда значения времени очень

малы и очень велики.

Для малых значений t по сравнению с T1/2Х можно положить

e−λRt = e−λM t =1

Приняв во внимание, что λR<<λX и λM<<λX и произведя соответствующие преобразования, получим:

X = X 0e

−λ t

M λ λ

− R0

−λ

M R

λX

λx

λX

или приближенно:

λR

(1− e−λX t

)

X ≈ X

e−λX t + R

0 λ

Если выразить количества атомов ThX в единицах равновесного 232Th, получим для малых значений t:

X ≈ X0e−λX t + R0 (1−e−λX t )

Для больших значений t, когда e-λXt=0, имеем:

X =

M λ λ

−λ t

λ λ

−λ t

0 M R

M R

λX

(λM −λR )λX

(λR −λM )λX

−

M λ

−λ t

M λ

−λ

] =

[ R0

0 M

λX

(λM −λR )

(λR −λM )

λR

[R e−λRt +

M 0λM

(e−λmt −e−λRt )]

(λM −λR )

λX

В единицах равновесного тория получим следующее выражение для количества Х атомов тория при больших значениях t:

X = R e−λRt +	M 0λR	(e−λM t −e−λRt )

0	λR −λM

Уран. Если между долгоживущим изотопом и его короткоживущим потомком находится промежуточный радиоактивный изотоп большой продолжительности жизни, например, в случае образования радия из урана

через ионий:

U (I + II ) →→→ Io →→→ Ra →

238U +U →→→230Th →→→226Ra →

T = 4.5x106 лет Т = 8300 летТ =1590 лет

то вычисление производится следующим образом. В общей формуле для числа атомов радия

N3 = N10λ1λ2[			e−λ1t			+		e−λ2t				+		e−λ3t			]
N3 = N10λ1λ2[	(λ	2	− λ )(λ − λ )			+	(λ − λ		)(λ − λ	2	)	+	(λ − λ )(λ		2	− λ )	]
		2	1	3	1		1	2	3	2			1	3	2	3

можно положить e-λ1t=0, тогда

e−λ2t

e−λ3t

= N10λ1λ2

λ λ

(λ

− λ )

(λ −

λ )

Разлагая e-λ2t и e-λ3t в ряды и ограничиваясь членами второго порядка, находим:

N = N λ λ [ 1				+	1− λ t			+	λ22t2	1 − λ t +			λ32t2
							2		2 +			3	2 ]

3	10 1 2
		λ λ				λ	(λ	− λ )			λ	(λ − λ )
	2		3		2		2		3	3		3	2

После преобразования получаем:

N3 ≈ N10λ1λ2 t2

Радон. Начальный участок радиоактивного ряда 222Rn имеет вид:

↑ 0.04%→RaC' 1.32 мин→

222Rn 3.82дня→RaA 3.05 мин→RaB 26.8 мин→RaC 19.7 мин→

↓

99.6%

1.6 x10−4c

→RaC'' →

Здесь интересно участие вилки. На кривых изменения активностей радона, продуктов его распада заметны только два первых члена ряда, остальные быстро достигают векового равновесия и их кривые сливаются с предыдущими.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 1278 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Учебные пособия

#
27.03.201615.8 Mб2566Бекман И.Н. Ядерная физика.pdf
#
27.03.201642.51 Mб223Ишханов Б.С. Радиоактивность (учебное пособие).pdf
#
27.03.20162.66 Mб298Ким Д.Б., Левит Д.И. Физика атомного ядра и элементарных частиц.pdf
#
27.03.201618.22 Mб507Рыжакова Н.К. Ядерная физика и её приложения.pdf