1.3. Магнитный момент, спин и радиус ядра

Протон и нейтрон (нуклоны) обладают спинами, равными S = 12 (в единицах ), и магнитным моментом. Полный момент

импульса нуклона состоит из спинового (s ) и орбитального (l )

моментов: j = l + s . Тогда атомное ядро обладает полным моментом импульса J , который складывается из суммарного спиново-

го момента нуклонов S = ∑si и из орбитального момента

i

L = ∑li , обусловленного движением ядра как целого: J = S + L .

i

Существуют следующие закономерности ядерных спинов:

•ядра с четными А имеют целые спины, а с нечетными

А– полуцелые спины;

•четно-четные ядра обладают нулевым спином.

Магнитный момент µ атомного ядра складывается из магнитных моментов нуклонов и определяется формулой

µ = gµ0 J (J +1) ,

где g – фактор, который зависит от J и S; µ0 = 2emp – ядерный

магнетон.

Из эмпирических закономерностей следует:

1.Магнитные моменты ядер по порядку величины равны ядерному магнетону, т.е. на 3 порядка меньше атомных магнитных моментов.

2.У ядер с нулевым спином (у четно-четных (ЧЧ) ядер) магнитные моменты равны нулю.

3.У всех ядер g-факторы лежат в пределах от – 4 до + 6. Исследования показывают, что ядра обладают еще квадру-

польным электрическим моментом (КЭМ)

J (2J −1)

Q = Q0 (J +1)(2J +3),

11

где Q0 – внутренний (собственный) квадрупольный момент.

Наличие КЭМ обусловлено несферической симметричностью формы ядра, т.е. оно имеет форму эллипсоида.

По современным представлениям радиус ядра можно определить в результате детального исследования распределения электрического заряда внутри атомных ядер. Из исследования рассеяния быстрых электронов на ядрах получена зависимость плотно-

сти заряда ρ(r ) от расстояния r (рис. 1). Из графика видно, что

атомные ядра не имеют резкой границы. Толщина t поверхностного слоя, определяемого как расстояние, на котором плотность за-

ряда уменьшается от 90 % до 10 % своего значения ρ(0) в центре

расстояние от его центра до точки, в которой плотность заряда уменьшается в два раза по сравнению с его плотностью в центре.

r

Рис. 1. Зависимость плотности заряда от расстояния

Если в первом приближении несферичностью ядра можно пренебречь, т.е. ядро считать сферичным, то, опираясь на пропорциональность энергии связи числу нуклонов А, радиус ядра можно определить формулой

R =1,2 10−15 A13 м

или

R =1,2A13 фм .

12

В результате исследований установили, что плотность ядерного вещества имеет такую же зависимость, что и плотность электрического заряда (см. рис. 1). В связи с этим плотность ядерного вещества считают постоянной: расчет дает значение порядка

3 10+14 гсм3 .

1.4. Дефект массы и энергия связи атомного ядра

Экспериментальные исследования показывают, что масса атомного ядра mя всегда меньше суммы масс входящих в ядро ча-

стиц (протонов и нейтронов). Это обусловлено тем, что при объединении нуклонов в ядро выделяется большая энергия, которая

называется энергией связи (Wсв ).

Энергия связи (Wсв ) – это энергия, в Дж, равная работе, ко-

торую нужно совершить, чтобы разложить ядро на нуклоны и удалить их друг от друга на такие расстояния, при которых они не будут взаимодействовать друг с другом:

где с – скорость света в вакууме, м/с; m – масса, кг.

Вядерной физике энергия и масса частиц рассматриваются

вэнергетических единицах измерений – мегаэлектронвольтах (МэВ). С учетом переводного коэффициента энергию связи можно также преобразовать в МэВ:

Эту формулу используют при измерении массы ядра в атомных единицах масс [а.е.м.].

В периодической таблице Менделеева масса атома каждого химического элемента дана в а.е.м., она состоит из масс ядра и электронов, и если массу электронов учесть в формуле (2) , то эту формулу можно записать в виде

где mн −масса атома водорода.

13

Если Wсв > 0 , то ядро устойчиво, если Wсв < 0 , то ядро абсо-

лютно неустойчиво.

Рассмотрим пример. Пусть из двух протонов и двух нейтронов образуется ядро гелия 2 He4 . Найдем энергию связи ядра:

Wсв = 931,44[2 1,00728+ 2 1,00866−4,00260]= 28,4МэВ.

Это очень большая энергия. Если ее перевести в температуру, то 28,4 МэВ соответствуют ~1011К.

Используя формулу (2а), можно рассчитать энергию отделе-

Формулы (4), (5) очень важны для предсказания возможного существования атомных ядер. Ориентировочно возможно около 6 500 ядер. Из них в настоящее время известно около 3 000 ядер. Также можно предсказать, какие ядра стабильны, какие – нестабильны, какие α -радиоактивны, какие β-радиоактивны, а также

составить таблицу энергии связи ядер. Эти предсказания можно получить из диаграммы зависимости зарядового числа Z от числа нейтронов N (диаграмма ZN). Из формулы (2а) следует, что энергия

связи ядра Wсв с ростом А линейно возрастает (рис. 2).

14

Wс

Рис. 2. Зависимость энергии связи от массового числа

Однако диаграмма, представленная на рис. 2, дает малую информацию о состоянии ядер и совсем не определяет их стабильность. Поэтому вместо энергии связи рассмотрению подлежит удельная энергия связи, т.е. энергия связи, приходящаяся на один

нуклон, МэВнук :

Зависимость ε от массового числа А показана на рис. 3. Как видно из рисунка, в области малых А удельная энергия связи быстро растет с ростом массового числа (приблизительно от 0 до 16) и достигает широкого максимума, центр которого расположен

в области элементов, близких к ядру железа 26 Fe56 . Этот максимум называют железным максимумом (εmax =8,8МэВнук). При даль-

нейшем увеличении А удельная энергия связи ε медленно уменьшается, достигая 7,6МэВнук для урана 92 U238 . Среднее значение

удельной энергии связи ε =8МэВнук.

Анализ кривой на рис. 3 и известной таблицы энергии связи позволяет сделать следующие выводы о свойствах атомных ядер:

15

1. Для большинства ядер удельная энергия связи почти одинакова и совпадает со средним значением ε . Поэтому полная энергия связи примерно определяется формулой

2. Удельная энергия связи не строго постоянна, а имеет максимум в области элементов железа, спадая к обоим краям кривой ε(А).

Уменьшение ε при переходе к тяжелым ядрам (А > 100) объясняется кулоновским отталкиванием протонов. Его энергия про-

порциональна Z 2 и приводит к реакции деления ядер. Резкое уменьшение ε при малых А (А < 16) объясняется поверхностными эффектами, которые возрастают при увеличении отношения площади поверхности к объему. Данный эффект вызывает слияние легких ядер.

Приведенная на рис. 3 зависимость ε от А указывает на два способа получения ядерной энергии: деление тяжелых ядер; слияние (синтез) легких ядер.

ε, МэВ/нук

Рис. 3. Зависимость удельной энергии связи ε = W/A от массового числа А

16

Знание масс атомных ядер важно для определения возможных способов их распадов и превращений в различных ядерных реакциях. Сведения о массах ядер даются в специальных таблицах.

Обычно в таблицах атомных ядер даются не их массы m(A,Z ), а так называемые дефекты масс ∆(A, Z ). Дефектом масс называют величину

∆(A,Z)= mат (A,Z)− Аu ,

где u – а.е.м., или в энергетических единицах, МэВ,

∆(A, Z)= mат (A, Z)− Аu с2 = 931,44 mат (A,Z)− Аu .

Тогда энергию связи (2а) ядра можно записать в виде

Wсв (A,Z )= Z∆Н + N∆n − ∆(A,Z ),

где

∆H = mpc2 + mec2 −uc2 = 938,272+ 0,511−931,494= 7,289МэВ –

дефект массы атома водорода;

∆n = mnc2 −uc2 = 939,565−931,494=8,071МэВ – дефект массы

нейтрона.

Отсюда энергия связи (6) примет вид, МэВ,

Wсв (A,Z )= Z 7,289 +(A − Z ) 8,071− ∆(A, Z ).

Таблица дефектов масс 217 нуклидов приведена в прил. 1. Зная дефект масс, можно найти массу атома любого химиче-

ского элемента по формуле

mат (A, Z)= ∆(A, Z)+ Аu .

Рассмотрим пример.

По таблице дефектов масс найдем энергию связи атома 8 О16 :

W (8 О16 )=8∆H +8∆n − ∆(8 О16 )=8 7,289+8 8,071−(−4,737)=127,617 МэВ.

Масса атома 8 О16 равна

m(8 О16 )= ∆(8 О16 )+ A = −931,4,73744 +16= −0,0051+16=15,9949а.е.м.

17