Власов_Методы оптимизации и оптимального управления_2013

•если бы на одном из шагов все коэффициенты при свободных переменных в соотношениях, связывающих (см. уравнения (2.5.3)) для примера свободные и базисные переменные, были положительными (или нулевыми), то увеличение выбранной свободной переменной не привело бы к появлению отрицательных значений переменных и не выводило бы из множества S, и в этом случае вели-

чину линейной формы можно было бы уменьшать до −∞ , и задача линейного программирования не имела бы решения (это может наблюдаться для не ограниченных множеств S ).

При большой размерности задачи линейного программирования, когда число n переменных велико, базисные и свободные переменные связаны множеством линейных соотношений, например

x1 = h1 + dm+1,1xm+1 +... + dm+ p,1xm+ p ,

...............................................,

xk = hk + dm+1,k xm+1 +... + dm+ p,k xm+ p ,

................................................,

xm = hm + dm+1,m xm+1 +... + dm+ p,m xm+ p ,

где x1 , x2 ,..., xm – базисные переменные.

В этом случае для замены одной базисной и одной свободной переменной можно воспользоваться тем уравнением, согласно которому при изменении свободной переменной (например xm+1 ) об-

нуляется базисная переменная (например xk ). Здесь надо решить

ние во все требуемые соотношения. Такая процедура избавляет от необходимости решения на каждом шаге громоздких систем линейных уравнений (хотя при современных программных средствах решениесистемлинейныхуравненийне составляетбольшоготруда).

В трехмерном пространстве можно дать простую геометрическую интерпретацию симплексного метода и постановки задачи

31

линейного программирования. На плоскости задан многоугольник, над которым нависает плоскость (описывается линейной формой L ). Требуется найти точку, принадлежащую многоугольнику, в которой линейная форма принимает наименьшее значение. Пусть, например, многоугольник является ограниченным. Ясно, что наименьшее значение формы будет достигаться в одной из угловых точек. C помощью симплексного метода осуществляется переход от одной экстремальной точки к следующей, рядом расположенной экстремальной точке, в которой значение линейной формы меньше, чем в предыдущей. Эти переходы продолжаются до тех пор, пока не будет найдена оптимальная экстремальная точка.

2.6. Учет ограничений типа неравенств

В общей постановке задачи линейного программирования присутствуют ограничения в виде неравенств (см. раздел 2.1). Оказывается, эти ограничения легко перевести в ограничения типа равенств за счет введения вспомогательных переменных. Каждому такому ограничению соответствует одна дополнительная переменная. Рассмотрим введение дополнительных переменных на приме-

u1 = b1 − a11 x1 − a12 x2 −... − a1n xn . В условиях исходного ограничения переменная u1 неотрицательна. Поэтому рассматривается новое ограничение в виде равенства u1 + a11 x1 + a12 x2 +... + a1n xn = b1 . Если

имеется k ограничений типа неравенств, то необходимо ввести k вспомогательных переменных. Таким образом, рассматривается новая задача линейного программирования с k +m ограничениями типа равенств и k + n переменными при прежней линейной форме. Если найдено решение новой задачи, то известно наименьшее значение LН линейной формы и значения всех переменных

x1 , x2 ,..., xn ,u1 ,...,uk . Из полученного решения надо выделить только

32

LН и значения переменных x1 , x2 ,..., xn , что и составит решение исходной задачи.

2.7. Поиск начальной экстремальной точки

Симплексный метод решения требует знания хотя бы одной (любой) экстремальной точки, иначе невозможно начать вычисления. Если размерность задачи велика, то максимальное возможное число экстремальных точек может оказаться очень большим, но согласно теореме 2, приведенной в разделе 2.4, гарантировать можно существование только одной экстремальной точки. Это может привести к трудоемкому перебору всех возможных ситуаций, для которых проверяется возможность определения экстремальной точки. Поэтому процедуру поиска исходной экстремальной точки целесообразно автоматизировать. Это может быть сделано с помощью решения вспомогательной задачи линейного программирования.

Пусть задана задача линейного программирования: S ={x : Ax =b, x ≥ 0}, L =cT x , причем b ≠ 0 и b ≥0 (этого мож-

но добиться всегда, поскольку при отрицательном bj соответст-

вующее ограничение можно умножить на -1). Введем новую линейную форму LН = y1 + y2 +... + ym (все слагаемые предполагаются

неотрицательными) и новую область допустимых решений Ax + y =b , где y – вектор с составляющими y1 , y2 ,..., ym . Получим

новую задачу линейного программирования. У этой задачи есть очевидная экстремальная точка x =0, y =b , которую можно взять

за исходную. Решим новую задачу симплексным методом. Поскольку y ≥ 0 , то имеется очевидное наименьшее значение формы

LH , равное нулю при, этом y = 0 и вектор x принял определенное

значение. Понятно, что справедливо неравенство x ≠ 0 , т.е. содержит не нулевые составляющие. В противном случае было бы получено противоречие Ax + y = 0 , поскольку Ax + y =b ≠ 0 . Найден-

ное значение вектора x и будет экстремальной точкой исходной задачи.

33

Следует заметить, что условие b =0 всегда приводило бы к экстремальной точке с нулевыми координатами, поскольку в этом

случае xB = B−1b =0 (см. раздел 2.3).

Контрольные вопросы

1.Какой вид имеют ограничения в задачах линейного программирования?

2.Как записывается уравнение плоскости в многомерном пространстве?

3.Что такое экстремальная (угловая) точка?

4.Каков алгоритм поиска экстремальных точек?

5.Каков геометрический смысл симплексного метода?

ГЛАВА 3. СПОСОБЫ ОПИСАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

3.1. Передаточные функции

Динамические системы – это такие системы, в которых имеется запаздывание передачи информации. Они обычно описываются с применением аппарата дифференциальных уравнений. Однако практика проектирования систем управления (например, выбор корректирующих устройств) показала эффективность применения других способов описания. Наиболее распространенными способами описания динамических систем являются:

•дифференциальные уравнения высоких порядков; частотные характеристики (амплитудные, фазовые, амплитуднофазовые);

•переходные характеристики (реакция на ступенчатое воздействие);

•импульсные переходные характеристики (реакция системы на δ – функцию);

•передаточные функции;

•структурные схемы линейных систем, включающие интегрирующие, суммирующие, усилительные звенья;

•описание систем в форме Коши.

34

Наиболее полными являются два последних способа описания. Поясним это на примере недостатков передаточной функции линейной системы, когда появляется возможность сокращения одинаковых множителей числителя и знаменателя.

При появлении в передаточной функции динамической системы одинаковых полиномов в числителе и знаменателе возникает вопрос о возможности сокращения таких полиномов. Простейшие примеры показывают, что при необоснованном сокращении полиномов могут быть потеряны важные свойства рассматриваемой динамической системы. Пусть передаточная функция имеет вид

w(s) = ux((ss)) = TsTs −−11 , где s – аргумент передаточной функции, x –

выходная величина, u – управляющее воздействие, T – постоянная, характеризующая динамические свойства объекта. Сокращение числителя и знаменателя приведет к результату x(s) = y(s) , и,

казалось бы, можно сделать вывод, что выходной сигнал совпадает с управляющим воздействием. Однако, потеряно главное свойство, заключающееся в том, что объект является динамическим. В данном примере, кроме того, объект является неустойчивым.

точная функция разомкнутой системы. Если w(s) является отноше-

никает вопрос о возможности сокращения числителя и знаменателя на Q(s) .

Пусть объект описывается дифференциальным уравнением

ной обратной связи (замыкание объекта) означает, что справедливы

35

ε(t) =u(t) − x(t) . Исключая ε(t) из последних соотношений, полу-

чим дифференциальное уравнение, описывающее замкнутый объект:

необходимо произвести сокращение числителя и знаменателя на

(Ts −1).

Все вопросы, связанные с возможностью сокращения нулей и полюсов в передаточных функциях следует решать с помощью анализа дифференциальных уравнений.

Другой пример. Пусть имеется инерционный объект, который описывается передаточной функцией w(s) = T0 sK+1 , где T0 –

большая постоянная времени (например, характеризует инерционность электрической печи). Чтобы ускорить процесс разогрева, применим последовательное корректирующее звено с целью добиться новой передаточной функции объекта передаточной функ-

цией w(s) = Tk sK+1 , где Tk значительно меньше T0 . Такое корректи-

36

рующее звено с передаточной функцией w(s) = (T0 s +1) можно реа-

Tk s +1

лизовать с помощью усилителя с большим коэффициентом усиления, охваченного единичной отрицательной обратной связью с пе-

вых множителей получим передаточную функцию системы в виде

поскольку теперь система имеет второй порядок, и на выходе корректирующего устройства будет наблюдаться большой выброс, что останется незаметным при сокращении одинаковых множителей.

3.2. Описание в форме Коши

Описание системы в форме Коши учитывает полную структуру динамической системы, позволяет вести анализ всех меняющихся в ней сигналов и имеет вид

dxdt1 = f1 (x1 , x2 ,..., xn ,u),

.......................................,

.......................................,

dxdtn = fn (x1, x2 ,..., xn ,u).

Величины x1 , x2 ,..., xn называются переменными состояния.

Для линейных систем форма Коши задается с помощью матриц

A(t), B(t) :

x = A(t)x + B(t)u ,

где x – вектор с составляющими x1 , x2 ,..., xn ; x – символ производ-

ной.

Если система является стационарной, то матрицы A(t), B(t) являются постоянными (не зависят от времени).

37

Поскольку с помощью передаточной функции могут быть найдены частотные и переходные характеристики, то последние способы описания также являются неполными.

3.3. Управляемость, наблюдаемость, стабилизируемость, обнаруживаемость

Рассмотренные ранее примеры заставляют искать особенности движения систем даже при полном их описании [6,7,8,9]. Рассмотрим линейную динамическую систему второго порядка, которой соответствуют уравнения

dxdt1 = x1 + x2 +u, dxdt2 + x2 = 0.

Ясно, что переменная x2 движется независимо от управляющего

воздействия u . Это пример неуправляемой системы, в которой не удается с помощью управляющего воздействия заставить систему перейти в наперед заданное состояние.

Изучим общий характер движения неуправляемых систем. Для этого используем теорему Гамильтона – Кели: «Всякая квадратная матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению».

1;2

Поясним теорему на примере. Пусть имеется матрица A = .

3;4

Найдем ее характеристическое уравнение | A −λE |= 0 (где E – единичная матрица), которое в данном примере является квадрат-

ным: λ2 −5λ −2 = 0 . Матричное выражение A2 −5A −2E можно представлять как матрицу, состоящую из нулевых элементов. Дей-

матричный нуль.

38

Пусть стационарная динамическая система находится в состоя-

i=0

любого момента времени t . Таким образом, в любой момент времени вектор x(t) является линейной комбинацией столбцов матри-

цы Y = (B; BA;...; BAn−1 ). Размерность пространства, в котором на-

ходится вектор x , совпадает с числом линейно независимых столбцов матрицы Y (ее называют матрицей управляемости), т.е. с ее рангом. Если матрица Y является вырожденной, то размерность рассматриваемого пространства меньше – n и вектор состояния не может находиться в любой наперед заданной точке n – мерного пространства. Если неуправляемая часть движения (оно является свободным, связанным с начальными условиями) стремится к нулю, то система называется стабилизируемой.

Аналогичные представления рассматриваются и при наблюдении за переменными состояния. В приведенном примере с электрической печкой не наблюдалась переменная состояния на выходе корректирующего звена. Система называется наблюдаемой, если при наблюдаемых (измеряемых) сигналах и известном управляющем воздействии можно, не решая дифференциальных уравнений, восстановить в каждый момент времени значения всех переменных состояния.

39

Рассмотрим пример. Пусть система описывается дифференциальными уравнениями:

x1 = a11 x1 + a12 x2 +b1u, x2 = a21 x1 + a22 x2 +b2u,

и измеряется величина y = c1 x1 + c2 x2 . Попробуем, не решая диффе-

ренциальных уравнений, восстановить значения переменных состояния. Для этого продифференцируем наблюдаемый сигнал и получим систему

y = c1 x1 +c2 x2 , y = c1 x1 +c2 x2 ,

которую с учетом дифференциальных уравнений можно записать в виде

c1 x1 +c2 x2 = y,

(c1a11 +c2 a21 )x1 +(c1a12 +c2 a22 ) = y −(c1b1 +c2b2 )u.

Решить последнюю систему относительно x1 и x2 можно, если ее определитель отличен от нуля. Матрица N этой системы может

(c1 ,c2 ) . Поэтому, если матрица N вырождена, то восстановить x1

иx2 невозможно.

Вобщем случае, когда линейная динамическая система имеет порядок n , восстановление всех переменных состояния возможно,

называют матрицей наблюдаемости, которая используется при измерении одного сигнала y . Сигнал y вовсе не обязательно совпа-

дает с регулируемым выходным сигналом. Для обеспечения наблюдаемости системы следует правильно выбирать измеряемые

40