Линеаризация ду сар

Достаточно часто встречаются звенья, имеющие нелинейную зависимость между входной и выходной координатами. Если для малых отклонений от установившегося режима нелинейность несущественна, то в этом случае до составления исходных ДУ САУ (1), ..., (5) выполняют процедуру линеаризации.

Суть линеаризации

1. Пусть нелинейное динамическое уравнение звена имеет вид:

F(x₁, x₂, x₂', y, y', y'', y''') = ( f, f ') .

2. Тогда уравнение установившегося состояния, всилу равенства нулю всех производных, имеет вид:

F^o(x₁^o, x₂^o, 0, y^o, 0, 0, 0) = ( f ^o, 0) .

3. Перейдем к уравнению динамики для отклонений, выполнив подстановки:

x₁ = x₁^o+x₁(t),    x₂ = x₂^o+x₂(t),    x₂' = x₂'(t),

y = y^o+y(t),    y' = y'(t),    y'' = y''(t),    y''' = y'''(t);

и разложив функцию F в ряд:

.

4. Завершая линеаризацию, вычтем из левой и правой части уравнение установившегося состояния:

(*).

Особенности линеаризованного уравнения

1. Оно является приближенным - отброшены члены высшего порядка малости.

2. Неизвестными функциями являются не полные величины, а их отклонения ... от установившихся значений.

3. Уравнение является линейным относительно отклонений ..., при этом масштабирующие коэффициенты (частные производные) могут быть постоянными или переменными во времени.

4. Внешнее воздействие линеаризации не подлежит.

Геометрическая трактовка линеаризации

Запись линеаризованных уравнений в стандартных для тау формах

Представим линеаризованное уравнение (*) в форме уравнения движения и в виде ПФ.

Уравнение движения предполагает: а) выходную величину и ее производные в левой части уравнения, а входную и все остальные члены - в правой; б) так же, принято, чтобы сама выходная величина входила в уравнение с коэффициентом единица. Чтобы привести линеаризованное уравнение (*) к такому виду введем обозначения:

тогда:

T₃³y''' + T₂²y'' + T₁y' + y = k₁x₁ + k₂x₂ + k₃x'₂ + k₄ f₁ .

Знак  обычно опускают и записывают уравнение в символьном виде:

(**)

(T₃³ p³ + T₂² p² + T₁ p + 1) y = k₁x₁ + (k₂ + k₃ p) x₂ + k₄ f₁ ,

где:  

T₃, T₂, T₁ - постоянные времени;

k₄, k₃, k₂, k₁ - коэффициенты усиления;

p=d.../dt - оператор дифференцирования.

Для вывода ПФ решим уравнение движения (**) относительно выходной величины:

y = W₁(p) x₁ + W₂(p) x₂ + W_f (p)  f₁ ,

Более строго передаточные функции определяются через изображения Лапласа или Карсона-Хевисайда, как отношение изображений выходной и входной величин:

.

Запись ПФ для переменных во времени величин и для их изображений совпадает до оператора. В первом случае ПФ зависит от оператора дифференцирования p=d.../dt. Во втором случае - от оператора Лапласа s=c+j.

4. Описание сар в частотном представлении Частотная передаточная функция

Если на вход любой системы подать сигнал синусоидальной формы:

x(t) = X_m cos(t) = X_m e ^jt .

Очевидно, что выходной сигнал будет иметь ту же форму:

y(t) = Y_m cos(t+) = Y_m e ^j(t+) .

Зависимость же между амплитудами и фазами выходного и входного сигналов определяет ДУ движения системы. Возмем произвольное, считая помеху f(t) равной нулю:

(T₂² p² + T₁ p + 1) y(t) = (k₁ + k₂ p) x(t).

Подставим сигналы в уравнение движения:

T₂²(j)² Y_m e ^j(t+) + T₁(j) Y_m e ^j(t+) + Y_m e ^j(t+) = k₁ X_m e ^jt + k₂(j) X_m e ^jt .

Найдем отношение выходного сигнала ко входному:

.

Заметим. Если вместо подстановки сигналов записать ДУ движения системы для домена Лапласа и вновь найти отношение выходного сигнала к входному (а точнее их изображений), то полученная в ходе этого преобразования ПФ совпадет с точностью до свободной переменной с частотной ПФ.

Резюме 1: Частотная передаточная функция получается из обычной заменой оператора Лапласа s на комплексную частоту j, т.е. в результате перехода от изображения Лапласа к изображению Фурье.

Резюме 2: ДУ движения системы связывает входной и выходной сигналы (т.е. функции времени), ПФ связывет изображения Лапласа тех же сигналов, а частотная ПФ связывает их спектры.