Ду решенное относительно регулируемой величины y(t) - уравнение движения

Система ДУ (1) может быть преобразована к одному уравнению путем исключения промежуточных координат (обычно выходную координату выражают через координату задания):

.

Результатом подобного преобразования является уравнение движения системы:

D(p) y(t) = R(p) g(t) - N(p) f(t) , (4)

где:

• D(p) = a₀pⁿ + a₁p^n-1 + ... + a_n-1p + a_n - характеристический полином;

• R(p) = D(p) - Q(p) = b₀p^m + b₁p^m-1 + ... + b_m-1p + b_m - коэффициенты этого полинома определяют влияние задающего воздействия g(t) на регулируемую координату у(t), причем его степень меньше степени характеристического полинома, т.е. m<n;

• N(p) = d₀p^k + d₁p^k-1 + ... + d_k-1p + d_k - коэффициенты полинома определяют влияние помехи f(t) на систему.

Ду решенное относительно ошибки X(t) - уравнение ошибки

Если система ДУ (1) решается относительно ошибки системы, то получается уравнение ошибки замкнутой системы:

D(p) x(t) = Q(p) g(t) + N(p) f(t) (5)

где:

• D(p) = a₀pⁿ + a₁p^n-1 + ... + a_n-1p + a_n - характеристический полином;

• Q(p) = D(p) - R(p) = c₀pⁿ + c₁p^n-1 + ... + c_n-1p + c_n - коэффициенты полинома определяют влияние задающего воздействия g(t) на ошибку x(t);

• N(p) = d₀p^k + d₁p^k-1 + ... + d_k-1p + d_k - коэффициенты полинома определяют влияние помехи f(t) на систему.

Передаточные функции сау

Передаточная функция- функция, связывающая один входной и один выходной сигналы САУ. Является формой записи системы ДУ САУ решённой относительно требуемой выходной координаты. Обычно ПФ записывается не для временного домена, а для домена Лапласа, связывая в этом варианте не сигналы (т.е. не функции времени), а их изображения.

ПФ-ии получают из ДУ решенного относительно требуемой координаты системы (уравнение (4) или (5)). Для чего правую часть уравнения делят на характеристический полином D(p). Отношения полиномов в правой части при возмущающих воздействиях и есть ПФ-ии.

Для типовой структурной схемы замкнутой САУ различают 3 основные ПФ, применяемые для исследований:

1. W(p) = y(p)/x(p)  W_ос(p) = W_рег(p) W_о(p) W_ос(p) - ПФ разомкнутой системы;

2. (p) = y(p)/g(p) - ПФ замкнутой системы;

3. _x(p) = x(p)/g(p) - ПФ замкнутой системы по ошибке.

Запишем по структурной схеме уравнение движения для разомкнутой системы:

.

где: W_прк(p) - ПФ прямого канала системы.

Замкнем систему с помощью уравнения замыкания:

.

Тогда совместное решение даст уравнение движения замкнутой системы:

и уравнение ошибки замкнутой системы:

.

При отсутствии помехи  f (t) выходная величина связана с задающим воздействием ПФ замкнутой системы:

.

А ошибка - с задающим воздействием ПФ замкнутой системы по ошибке:

.

При этом:

Другие связывающие отношения

Разделим уравнение движения (4) на уравнение ошибки (5), считая, что f(t)=0 и W_ос(p)=1:

y(t) / x(t) = R(p) / Q(p) ,     =>     W(p) = R(p) / Q(p) .

В соответствии с теми же уравнениями и уравнением замыкания характеристический полином D(p) = R(p) + Q(p). Добавим 1 к W(p):

1 + W(p) = Q(p) / Q(p) + R(p) / Q(p) = D(p) / Q(p) .

При исследованиях характеристический полином приравнивают к нулю, т.е. вместо него можно использовать W(p):

1 + W(p) = 0 , - характеристическое уравнение.

А так же:

W(p) = [D(p) - Q(p)] / Q(p) = D(p)/Q(p) - 1 = R(p) / [D(p) - R(p)] .

и

W(p) = (p) / [1 - (p)] ,                   W(p) = [1 - _x(p)] / _x(p) .