Форма Коши

Форма Коши- матричная форма записи системы ДУ решенных исключительно относительно первой производной координат САУ:

(2)

где:

• x₁, x₂, x₃ - собственные координаты системы - ошибка системы x(t), воздействие на объект u(t), выходная координата - y(t), ...;

• a₁₁, ... , a₃₃ - постоянные коэффициенты (если система не является зависимой от параметра) - суммы и произведения постоянных времени T_j, коэффициентов усиления K_n;

• f₁, f₂, f₃ - воздействия на систему - сигнал задания g(t), помехи f_j(t).

О форме Коши:

• Применяется в теории управления не часто.

• Удобна, если для расчетов использовать классические математические пакеты: MathCAD, MATLAB, Mathematica, Maple, Derive.

• Используется при построении аналоговых вычислительных моделей матричного типа (например, моделей на операционных усилителях).

• Уравнения могут быть решены относительно любой из фазовых координат x_i.

Пространство состояний

Пространство состояний (ABCD-форма)- матричная форма записи системы ДУ САУ адаптированная для теории управления путем выделения из формы Коши алгебраических уравнений связывающих внутренние координаты САУ с выходной(ыми). Применяется для описания САР большого порядка, как правило, с несколькими входами / выходами и с перекрестными связями.

Изображенная на рисунке блок-схема позволяет решить систему ДУ представленную в форме "Пространства состояний":

(3)

где:

• x_m x 1 - вектор входных переменных;

• y_k x 1 - вектор выходных переменных;

• u_n x 1 - вектор переменных состояния (фазовых координат системы);

• A_n x n - матрица коэффициентов системы;

• B_n x m - матрица входных коэффициентов (матрица управления);

• C_k x n - матрица выходных коэффициентов;

• D_k x m - матрица коэффициентов пропорциональных каналов (матрица компенсации);

• n - порядок системы; m - кол-во входов; k - кол-во выходов (m<n).

О форме "Пространство состояний":

• Это вторая по частоте применений форма записи ДУ в ТАУ.

• Признана стандартом для программ математического моделирования VisSim, Simulink, и т.д., однако в большинстве случаев реализована в SISO-форме (с одним входом и одним выходом). Моделирующие программы для выполнения анализа (символьного или частотного) сводят любую модель пользователя к пространству состояний, заполняя в ходе первых шагов симуляции коэффициенты ABCD-матриц.

• Как правило, используется для построения моделей тех больших не поддающихся модуляризации, но не сложных систем, описание которых оптимально в матричной форме (таких мало). Для записи уравнений используются такие методы как: "Метод контурных токов", "Метод узловых потенциалов", - а так же их эквиваленты для других энергетических доменов (гидравлического, теплового, механического, ...).

• Матричное описание строго формализовано, и не требует понимания физической природы системы. Так же структура модели в "пространстве состояний" не позволяет разобраться во внутренней природе системы. Если эта форма записи ДУ применена обосновано, то модель, скорее всего, будет истинной.