Механические системы.
Механизмы передачи крутящих моментов широко используются для согласования скоростей рабочих машин или исполнительных механизмов и приводных двигателей. Среди них наибольшее распространение находят зубчатые передачи.
Рис. 5. Пример простейшей кинематической передачи.
Динамические
процессы, происходящие в большинстве
механизмов, неразрывно связаны со
свойствами входящих в него механических
систем. Особенности получения динамических
моделей механизмов с линейными функциями
положения и линейными характеристиками
упругих звеньев можно рассмотреть на
примере механической системы,
представленной на рис. 5. Здесь ротор
двигателя М и вращающееся исполнительное
звено MM связаны передаточным механизмом,
состоящим из зубчатых колес 1-4, образующих
двухступенчатый редуктор. Пусть
передаточное отношение первой пары —
,
а
–
общее передаточное число редуктора.
Моменты инерции всех звеньев относительно
их собственных осей –
.
При составлении динамической модели механизма будем учитывать крутильные податливости соединительных валов и зубчатых передач. При этом под податливостью понимается величина, обратная жесткости вала с, которая определяется как
,
где
—
угол закручивания элемента механизма.
Вычисление податливости валов, связывающих элементы рассматриваемого механизма, подробно описано в литературе по теоретической и прикладной механике. Для вычисления жесткости зубчатой передачи со стальными зубьями можно пользоваться эмпирической зависимостью:
,
где
–
радиус ведущего колеса, см;
–
ширина зубчатого венца, см;
.
Обозначим жесткости
зубчатых передач 1-2 и 3-4 как
и
соответственно.
Жесткости валов, связывающих элементы
механизма, обозначим как
и
.
В большинстве своем упругие элементы
передаточного механизма обладают
диссипативными свойствами, то есть
способностью рассеивать механическую
энергию. В общем случае зависимость
силы сопротивления от скорости может
быть достаточно сложной функцией.
Коэффициент, характеризующий диссипативные
свойства, может быть непостоянным, а
показатель степени, в которую возводится
величина скорости, отличен от единицы.
Решение таких задач выходит за рамки
настоящего пособия. Будем рассматривать
механические системы, в которых
присутствуют силы вязкого трения,
пропорциональные скорости движения
элементов механизма. Эти силы
характеризуются коэффициентами
демпфирования
.
Иными словами, полагаем, что при изменении
деформации
элемента
механизма с номером r
возникает момент, определяемый как
.
Рассматриваемая система имеет шесть степеней свободы. В качестве обобщенных координат удобно принять углы поворота ротора двигателя и зубчатых колес, приведенные к ротору двигателя. То есть
,
,
,
,
,
.
При этом деформации валов и зубчатых колес, приведенные к валу двигателя, определяются как
Из уравнения Лагранжа следует, что система дифференциальных уравнений, описывающая движение отдельных элементов механизма, может быть представлена в следующем виде
|
|
(7) |
где
–
моменты инерции звеньев, приведенные
к валу двигателя,
—значения
коэффициентов демпфирования, приведенные
к валу двигателя,
—значения жесткости
элементов кинематической цепи, приведенные
к валу двигателя,
–
момент, развиваемый приводным двигателем,
–момент сопротивления
рабочей машины.
Рис. 6. Цепная динамическая модель механизма.
На рис. 6 представлена цепная динамическая модель механизма, для которой уравнения вынужденных колебаний, вызываемых активными приложенными силами и моментами инерции, совпадают с движениями, возникающими в системе, представленной выражением (7).
На рисунке 6
принято, что величина динамического
момента
определяется
как
.
Таким образом, динамические ошибки, вызванные податливостью звеньев, могут рассматриваться как вынужденные крутильные колебания многомассовой системы вблизи траектории программного движения механизма с абсолютно жесткими звеньями.
Система уравнений (7) в операторной форме записывается как
|
|
(8) |
Из системы (8) определяются передаточные функции, связывающие законы изменения обобщенных координат с законами изменения обобщенных сил. Соответствующие им частотные характеристики имеют размерность податливости. Кроме того, возможно получение передаточных функций, связывающих величины обобщенных сил с моментами, прикладываемыми к редуктору со стороны двигателя и исполнительного механизма. Такие характеристики позволяют определить величины динамических моментов, возникающих в различных элементах механизма при разных режимах его работы.
Так как основные параметры зубчатых передач определяются исходя из требуемой нагрузочной способности, то в подавляющем большинстве случаев податливости спроектированных зубчатых колес значительно меньше податливостей элементов их соединения с рабочей машиной и приводным двигателем. Поэтому с достаточной степенью точности можно утверждать, что жесткости зубчатых колес общепромышленных механизмов бесконечно велики. Исходя из этого эвристического положения, двухступенчатый редуктор можно рассматривать как трехмассовую систему, параметры которой определяются следующим образом:
Структурная схема такого представления двухступенчатого редуктора показана на рис. 7.
Рис. 7. Структурная схема механизма с двухступенчатым редуктором
На рис.8 изображены логарифмическая (а) и амплитудно-фазовая (б) частотные характеристики такого механизма.
Рис. 8. Частотные характеристики двухступенчатого редуктора (а – логарифмическая, б — амплитудно-фазовая)