Обобщенная модель импульсного элемента

 

• Задача идеального импульсного элемента (ИИЭ) в модели - сформировать для дальнейшего математического описания системы либо последовательность импульсов типа -функций с площадью  x(t), либо решетчатую функцию, в основе которой единичная импульсная функция _o(t) = { 1 при t=0; 0 при t0 } с амплитудой  x(t).

• Задача экстраполятора - математически описать выходную последовательность реального импульсного звена между значениями решетчатой функции (экстраполяция - это прогнозирование (синтез) сигнала по истории выборок вплоть до следующего достоверного значения, которое в текущий момент не известно, и, получив которое, можно провести историческую коррекцию прогноза - интерполяцию).

• Коэффициент передачи квантователя (ИИЭ) обратно пропорционален периоду квантования, а коэффициент передачи экстраполятора нулевого порядка равен периоду. Таким образом общий коэффициент передачи квантующей и восстанавливающей цепи, т.е. ИЭ обычно равен единице.

Приведенные весовая и передаточная функции разомкнутой импульсной системы

• Если ИИЭ выдает решетчатую функцию, то можно ввести понятие "приведенной весовой функции" - w_п. Это отношение выходного сигнала y(t) к значению единственной дискреты x_o поданной на вход экстраполятора.

• Если ИИЭ выдает последовательность типа -функций, то для непрерывной части совместно с экстраполятором можно вывести понятие приведенной непрерывной передаточной функции:

W_п(s) = W_э(s) W_o(s), при этом W_п(s) = L{ w_п(t) }.

Дискретная пф

Знание приведенной решетчатой весовой функции w_п[n] позволяет найти реакцию импульсного фильтра на входную величину произвольного вида - x(t). Рассмотрим реакции на отдельные значения входной величины в дискретные моменты времени:

• на x[0]: y[n] = w_п[n] x[0]

• на x[1]:  y[n] = w_п[n-1] x[1]

• на x[m]:  y[n] = w_п[n-m] x[m]

Следовательно реакция на всю входную последовательность будет равна:

y[n] = _m=0ⁿw_п[n-m] x[m] = _m=0ⁿw_п[m] x[n-m] = _m=0ⁿw_п[m] x[n] e ^-mTs = _m=0ⁿw_п[m] x[n] z ^-m = x[n] _m=0ⁿw_п[m] z ^-m .

Здесь первоначально изменен порядок суммирования (свертка), а затем учли запаздывание оператором запаздывания z = e^Ts. Если устремить n к бесконечности, то, очевидно, что сомножитель для x[n] есть дискретная ПФ:

W (z) = _n=0^ w_п[n] z ^-n = Y (z) / X (z) .

И поскольку она является Z-преобразованием приведенной решетчатой весовой функции, то ее можно представить как Z-преобразование от обратного преобразования Лапласа приведенной ПФ экстраполятора и непрерывной части:

W (z) = Z { w_п[n] } = Z { L^-1 { W_п(s) } } .

Часто для краткости записи знак операции L^-1 опускают записывая: W (z) = Z { W_п(s) }.

Правила преобразования структурных схем дискретных систем

Рабочие файлы: [series_z.vsm]

Wп(s) = W1(s) + W2(s) W(z) = W1(z) + W2(z) Wп(s) = W1(s) W2(s) W(z) = Z { W1(s) W2(s) } = W1W2(z) те. W(z)  W1(z) W2(z) !!! W(z) = W1(z) W2(z) W(z, ) = Z { L-1 { Wп(s) e-s } } = = z -1 Z { wп[n,  ]  }
где:    - относительное смещение, которое отсчитывается от начала предыдущего такта ( = 1 - /T ; 0 <  < T ).

ПФ системы с экстраполятором нулевого порядка и звеном запаздывания

Экстраполятором нулевого порядка являются: 1) УВХ и 2) ЦАП.

Найдем изображение Лапласа для единичного импульса:

.

Тогда Z-изображение экстраполятора и непрерывной части со звеном запаздывания:

,

где:  = 1 - /T ; 0 <  < T ; W(z) не учитывает коэффициент передачи ИИЭ равный 1/T.

ПФ системы с экстраполятором, осуществляющим АМ первого или второго рода

Найдем изображение Лапласа для частично заполненного импульса:

.

Тогда Z-изображение экстраполятора и непрерывной части:

,

где:  = 1 -  ; W(z) не учитывает коэффициент передачи ИИЭ равный 1/T.

Если  << 1, то e ^-Ts  1 - Ts, тогда:

.

К этой формуле, в первом приближении, сводится и АМ второго рода.

ПФ замкнутой импульсной системы

Опишем систему в изображениях Лапласа:

те.:

.

• ПФ по ошибке _x может быть получена решением системы относительно ошибки x.

• Поскольку запаздывание не определяет свойства системы в области низких частот, практически всегда для оценки качества могут быть использованы формулы

(осталась особенность - "W₁W₂(z)", см. правило 2 преобразования структурных схем)

ПФ для возмущений

Поскольку для произведения 2х операторных многочленов: F(s) (изображение возмущения) и W₂(s) нельзя найти Z-преобразование раздельно, см. правило 2, то ПФ по возмущению удобно определять для эквивалентных возмущений F₁(z), приведенных к входу ИЭ:

.

Дискретная синусоидальная последовательность x[n] = a sin [nT+].

Частота Найквиста. Теорема Котельникова.

Частотные ПФ импульсных систем

Особые свойства последовательности x[n]:

1. Функция может быть как периодической - рис. а и б, так и непериодической - рис. в.

2. Амплитуда образующей непрерывной функции может быть максимальным значением последовательности x[n] - рис. а, и может не является им - рис. б.

3. Последовательность не изменится, если на вход ключа подавать сигналы с частотами, отличающимися на частоту дискретизации: f ; f + 1f₀; f + 2f₀; ...; f + kf₀.

Запишем закон изменения синусоидальной последовательности в экспоненциальной форме:

x[n] = a sin [nT+] = a e ^j[nT+] =  a e ^j e ^nT = a e ^jnT = a zⁿ ,

тогда выходная величина импульсного фильтра:

y[n] = _m=0^ w_п[n-m] x[m] = _m=0^ w_п[m] x[n-m] = _m=0^ w_п[m] a z^n-m = a zⁿ _m=0^ w_п[m] z ^-m = a zⁿW (z) = x[n] W (z).

Таким образом ПФ W(z) при подстановке z = e ^jT - есть частотная ПФ. Все остается в силе и для (e ^jT) и _x(e ^jT).

Очевидно, что частотные ПФ W(e ^jT), (e ^jT) и _x(e ^jT) обладают периодическими свойствами (₀ = 2T ^-1). Это видно и из нижнего рис., поскольку одну и ту же входную последовательность могут вызывать входные сигналы с разными частотами f + k f₀.

 - Преобразование. Билинейные преобразования.