Дифференцирование и интегрирование решетчатых функций
Аналогом
первой производной для решетчатой
функции является либо первая прямая
разность:
f [n] = f [n+1] - f [n],
либо первая обратная разность:
f [n] = f [n] - f [n-1].
Аналогами второй производной являются вторые разности. Прямая:
2 f [n] = f [n+1] - f [n] = (f [n+2] - f [n+1]) - (f [n+1] - f [n]) = f [n+2] - 2 f [n+1] + f [n],
и обратная:
2 f [n] = f [n] - f [n-1] = f [n] - 2 f [n-1] + f [n-2].
По аналогии могут определяться и высшие разности:
|
k f [n] = =0k(-1)Ckf [n+k-] |
k f [n] = =0k(-1)Ckf [n-] |
где: Ck = k! / (!(k-)!).
Очевидно, что если f [n] определена только для положительных n, то для n=0 все обратные разности k f [n] равны нулю, что позволяет ...
Аналогом
интеграла является неполная сумма:
[n] = m=0n-1 f [m] = =1n f [n-],
и полная сумма:
o[n] = [n] + f [n].
Разностные уравнения
Аналогом ДУ для импульсной системы является уравнение в конечных разностях или разностное уравнение (РУ):
b0my[n] + b1m-1y[n] + ... + bm y[n] = f [n],
(оно может быть составлено и в прямых разностях). Если раскрыть разности, то уравнение будет иметь вид:
a0 y[n] + a1 y[n-1] + ... + am y[n-m] = f [n], (1)
|
где: |
am-k = =0k (-1)m-k b Cm-k ; |
Cm-k- = (m-)! / [ (k-)! (m-k)! ] . |
РУ легко машинизируются и для их расчета можно составлять рекуррентный алгоритм.
Учтем запаздывание передаточной функцией звена чистого запаздывания и вынесем теперь уже изображение дискретной последовательности y[n] в уравнении (1) за скобку:
(a0 + a1e-Ts + ... + ame-mTs) Y *[s] = F *[s],
введем обозначение z = eTs и перепишем уравнение:
(a0 + a1 z -1 + ... + am z -m) Y [z] = F [z].
Решая для него ХУ (левая часть приравненная к нулю) можно получить "Общее решение" - т.е. переходную составляющую:
y [n] = С1 z1n + С2 z2n + ... + Сm zmn ,
где: z1, z2, ..., zm - корни ХУ; а Ci - произвольные постоянные.
Вид решения ХУ определяет условие устойчивости для систем, описанных с помощью РУ:
| zi | < 1.
Z-преобразование
Для решетчатых функций времени может быть введено понятие дискретного преобразования Лапласа:
которое называется Z-преобразованием при подстановке z = eTs, и связывает изображение с оригиналом.
Z-преобразования (изображения) типовых решетчатых функций и типовых непрерывных ПФ W(s) сведены в таблицы. Определены правила и теоремы для математических манипуляций с ними.
Типовая структура импульсной системы. Понятие об импульсном фильтре
Если время замкнутого состояния ключа мало, то сигнал на его выходе можно заменить последовательностью дельта-функций x*[nT], с площадью x[nT], т.е: x*[nT] = x[nT] (t-nT).
В таком случае реакция непрерывной части Wo(s) - это суперпозиция весовых функций w(t), которую можно рассматривать и как непрерывный сигнал y(t), и как дискретную последовательность y[nT].
Импульсным фильтром считают импульсный элемент (ключ) с непрерывной частью Wo(s) на выходе. За истинный сигнал фильтра принимают выходную последовательность только в дискретные моменты времени y[nT], где n = ..., -2, -1, 0, 1, 2, ...