Пример системы с транспортным запаздыванием

Пф звена чистого запаздывания

Свойства звена таковы, что y(t) = x(t-), где  - запаздывание, а x(t-) = 0 при 0 < t < .

Разложим правую часть уравнения (т.е. выходной сигнал) в ряд Тейлора:

,

или

,

т.е.:

.

Аппроксимация звена чистого запаздывания

Сравним переходные функции апериодического звена с запаздывающим аргументом и апериодического звена 2-ого порядка:

Поскольку они существенно похожи, в приближенных расчетах можно осуществлять подмены передаточных функций звеньев.

В некоторых случаях применяется прием учета большого числаN звеньев в системе с малыми постоянными времени T_i и единичным коэффициентом передачи, одним звеном с постоянным запаздыванием, равным сумме этих постоянных времени  = T_i  NT. Т.е.:

Если N, то в пределе получим W(s)e^-s. Уже при N=8..10 степень приближения высока. Ряд будет более точно соответствовать разложению в ряд функции e^-s, если его представлять не апериодическими, а фазосдвигающими звеньями.

Размыкание систем с запаздыванием

Большинство методов исследования устойчивости или качества систем в качестве входной информации используют ПФ системы для разомкнутого состояния W(s). Звено чистого запаздывания является нелинейным элементом, и затрудняет как аналитический анализ систем, так и машинный (программы математического моделирования не могут выполнять функции анализа для систем с нелинейными элементами). Поэтому либо используют линеаризованные аппроксиматоры звена чистого запаздывания, либо размыкают систему в той ветви, которая содержит звено чистого запаздывания, дабы ПФ имела вид: W(s) = W_o(s)  e^-s, где W_o(s) - ПФ части системы без запаздывания.

Рассмотрим и разомкнем системы с основными вариантами включения звена чистого запаздывания - последовательным, параллельным и в цепи ОС:

Если звенья чистого запаздывания имеются в разных ветвях структурной схемы, то для исследований используют их аппроксиматоры и машинные методы анализа.

Частотные свойства систем с запаздыванием. Понятие о критическом запаздывании

Перейдем в частотный домен:

 ,

следовательно:

L() = |W(j)| = A_o()  1 = A_o() ,

) = _o() -  .

Резюме:

• Таким образом, наличие звена с запаздыванием не меняет модуля, а лишь вносит дополнительный фазовый сдвиг (-).

• Из графика видно, что звено e^-s закручивает исходный годограф W_o(j) по часовой стрелке, ухудшая условия устойчивости.

• По имеющемуся годографу W_o(j) можно определить критическое значение запаздывания _кр:

  1 - сркр = -

  =>

  кр = 1) / ср

• В некоторых случаях _кр можно рассчитать аналитически.

Устойчивость систем с запаздыванием

Рассмотрим замкнутую систему:

По знаменателю ПФ (j) видно, что в общем случае характеристическое уравнение будет иметь множитель e^-s, который определяет возможность наличия бесконечного количества корней (см. петли годографа Михайлова D(j) ).

Как и прежде, для устойчивости все они должны иметь отрицательные вещественные части.

• Для устойчивости систем 1-ого и 2-ого порядка с запаздыванием не достаточно положительности коэффициентов.

• Для систем 3-его и более порядков не применимы критерии Вышнеградского, Рауса, Гурвица.

Об исследовании точности систем с запаздыванием

По ЧХ звена чистого запаздывания наглядно видно, что его коэффициент передачи во всем частотном диапазоне равен единице. Причем в области низких частот и задержка в звене пренебрежимо мала (т.е. сдвиг фазы стремится к нулю), поэтому при исследовании точности систем с запаздыванием допустимо просто исключить все звенья чистого запаздывания из структурной схемы. Эта операция допустима, поскольку точность любой системы определяет только НЧ часть ее ЧХ.

15. Импульсные системы

Система импульсная линейная

Линейной системой импульсного регулирования называется такая САР, которая кроме звеньев описываемых обыкновенными линейными ДУ содержит импульсное звено, преобразующее непрерывное входное воздействие в равноотстоящие друг от друга по времени импульсы.

Варианты выходных последовательностей импульсных звеньев

Пример импульсной системы

1 - импульсное звено - ключ с ШИМ; 2 - непрерывное звено - фильтр с нагрузкой; изменение +U можно рассматривать как возмущение f(t)

Система линейна, если линеен ШИ-модулятор. Если R_н меняется, то система дополнительно будет параметрической.

Математический аппарат описания импульсных систем

Решетчатые функции

Решетчатые функции 2 определены только в дискретные моменты времени [nT] (сокращенно [n]), и формируются из непрерывных функций 1: f [nT] = f (t) при t=nT. Рассматривают так же смещенные решетчатые функции (последовательность 3): f [n, ] = f (t) при t=(n+)T, где  - относительное смещение, [0..1).

Непрерывные функции, проходящие через дискреты заданной решетчатой функции, называют огибающими. Их бесконечно много.

Основная огибающая может быть получена, как результат решения ДУ наименьшего порядка и должна содержать гармоники наименьшей частоты.