Метод корневых годографов

Метод позволяет подобрать параметры системы по оценке их влияния на общую картину расположения корней замкнутой САР.

Если ПФ замкнутой САР:

где:m < n,

то полюсы и нули (корни) всегда можно вычислить и нанести на комплексную плоскость. Если менять один из параметров системы, (K, ..., T_i, ..., ), то изменения в ПФ (s) приведут к смещению корней - движению по траекториям, совокупность которых называется корневым годографом. Если менять один параметр, при дискретных значениях другого, то можно оптимально выбрать значения уже 2-х параметров, оценивая семейство корневых годографов. При выборе допустимо пользоваться любой из корневых оценок качества: , , ₀. Наиболее эффективен метод при выборе K.

Рассмотрим идею построения траекторий корней. ПФ разомкнутой системы и ХУ запишем в виде:

, (*)

здесь s - не оператор Лапласа или дифференцирования, а любая точка на одной из возможных траекторий корней, которые мы хотим построить варьируя K !!!

Если корни - полюсы и нули известны (q₁^o, q₂^o, ..., q_m^o; q₁^x, q₂^x, ..., q_n^x), то операторную часть ПФ - G₁(s) можно представить в виде:

где: ;n>m.

Представим сомножители (s - q_i) векторами:

.

Теперь вновь запишем ХУ:

.

При изменении K от 0 до бесконечности уравнения (1) и (2) определяют правила движения корней:

1. Если K=0, то корни ХУ (*) совпадают с полюсами W(s), т.к. G(s) должна стремится к бесконечности.

2. Если K, то часть корней ХУ (*) совпадают с нулями W(s), а часть уходит в бесконечность, т.к. G(s)0 как при совпадении s с нулями, так и при s. Наклон асимптот для уходящих в бесконечность корней можно рассчитать по формуле:

(+2i) / (n-m),   где: i=1,2, ..., n-m.

13. Системы с переменными параметрами Система линейная с переменными параметрами

Линейной системой с переменными (var) параметрами называется такая, движение которой описывается ДУ с переменными во времени коэффициентами:

где воздействие f может быть и задающим - g(t).

Те. ПФ подобной системы параметрическая, например:

W(s, t ) =		Y(s, t)	=	K(t)...
		X(s, t)		(1+T1s)(1+T2(t)s)...

где: K(t), T₂(t) - зависящие от времени функции.

Пример параметрической сар

Понятие о параметрической функции веса. Нахождение реакции параметрической сар на произвольное воздействие

Очевидно, что реакции САР с var-параметрами на стандартные возмущения 1(t) и (t) будут зависеть от момента времени поступления сигналов. В связи с этим функцию веса можно изобразить в виде поверхности:

Различают:

• Нормальную весовую функцию w(t-, ) при =const.

• Сопряженную весовую функцию w(t-, ) при t=const.

• Реверс-смещение сопряженной весовой функции w(, t-) при t=const.

Заметим, что в системах с постоянными параметрами рельеф функций веса цилиндрический и нормальная функция веса совпадает с сопряженной (с реверс-смещением).

Если на систему, со свойственной ей функцией веса w(t-, ), действует входной сигнал f(t), то элементарная реакция на выходе системы в произвольный момент времени t= будет:

dy = w(t-) f() d .

Полный сигнал определяется как суперпозиция элементарных реакций:

y = _o^t  w(t f() d .

А если использовать реверс смещение  = t- (t=const):

y = _o^t  w(, t-) f(t-) d ,

то получим интеграл свертки для квазистационарных систем.

Найти функцию веса для систем первого и второго порядков можно аналитически. Для систем высших порядков существуют численные методы.