Построение нч части желаемой лачх

 В следящих системах с астатизмом 2-ого порядка, положение первой низкочастотной асимптоты всегда однозначно. Настройкой параметров регулятора (K, K_i1, K_i2) ее нужно подстроить по правой границе запретной области для НЧ.

В системах с астатизмом первого порядка надо определить положение 2-х асимптот. Возможные варианты определены положением постоянной времени объектаT₁, относительно контрольной частоты:

1. K_ > K_{ треб}, но: затруднено демпфирование и увеличиваются ВЧ шум.

2. K_v > K_{v треб}, но: увеличиваются НЧ шум.

3. Истинная ЛАЧХ должна быть поднята на 3 дБ, для компенсации ослабления в 1,4142 раза в зоне частоты сопряжения.

Требования к вч части желаемой лачх

Формировать ВЧ участок ЛАЧХ удобно при использовании показателя колебательности M, линии уровня которого, при скольжении вектора A, с фазой  по окружностям M, можно нанести на ЛФЧХ.

В качестве типовых в НЧ части используются ЛАЧХ с наклоном не более -40 дБ/дек, которому соответствует нулевой запас по фазе, поэтому необходимо в области частоты среза формировать участок с наклоном -20 дБ/дек, т.е. сводить типовые ЛАЧХ к одному из 2-х видов:

1-2-1-2-3 0-1-2-1-2-4    ...

1-2-3 0-1-2-3-4 ...

Запретные зоны на ЛАЧХ определяют:

• Для ЛАЧХ вида 2-1-2: а) начало корректирующего участка - Т₂; и б) его длину - h = Т₂/Т_i, где i = [3, 4, ...), и ₃ = ₂h или _ср = ₂M/(M-1) или ₃ = _ср(M+1)/M.

• Для ЛАЧХ вида 1-2 максимальное значение суммы постоянных времени равно Т_i, где i = [1, 2, ...).

Если выше частоты среза имеется пик от колебательного звена, то его амплитуда не должна приблизиться к окружности с заданной колебательностью M, т.е. не должна достичь уровня на ЛАЧХ 20lg M/(M+1); а постоянная времени, при определении h, должна войти в сумму как 2T.

Построение вч части желаемой лачх

Исходные данные: ₀ и T₁ - определены при построении НЧ части желаемой ЛАЧХ.

Для систем с астатизмом 2-ого порядка:

• Задаются перерегулированием  и определяют M:

  , %	13,8	26,5	37,2	44,6
  M	1,1	1,3	1,5	1,7

• Зная M, определяют положение постоянной времени T₂ (начало корректирующего участка):, где; и его длину:.

• Проверяют, чтобы резонансные пики высокочастотных колебательных звеньев не достигали вновь уровня 20lg M/(M+1).

Для систем с астатизмом 1-ого порядка проверяют возможность сведения желаемой ЛАЧХ к виду 1-2 или модификациям, путем уменьшения постоянных времени до значения:

, где (M<1,3).

Если это невозможно, то формируют участок -20 дБ/дек аналогично методике для систем с астатизмом 2-ого порядка.

Корневой метод синтеза

Метод позволяет получить приемлемые динамические качества, при заданной структуре САР и заданном значении коэффициента усиления (последний член характеристического уравнения).

Пусть имеется ХУ:

sⁿ+A₁s^n-1+...+A_n = 0. (1)

Сумма модулей вещественных частей всех корней равна коэффициенту A₁. При заданной его величине быстродействие будет максимальным, если вещественные части корней равны. Но это не достижимо - система будет не устойчивой. Например, для САР состоящей из 3-х апериодических звеньев выполнение условия эквивалентно равенству постоянных времени...

Реально всегда можно выделить 2 или 3 корня, с наименьшей по модулю вещественной частью, которые определяют вид переходного процесса. Положим их 2 и они комплексные. Перепишем ХУ:

(2)

(s^n-2+C₁s^n-3+...+C_n-3) (s²+B₁s+B₂) = 0.

Достаточно рассматривать только 2-ой сомножитель, поскольку им определен вид переходного процесса:

• B₂ определяется значением K и должен иметь возможно большее значение.

• B₁ определяется суммой 2-х низкочастотных постоянных времени и связан с затуханием , следовательно должен быть выбран исходя из 2-х противоречивых требований быстродействия и устойчивости.

Оптимальное соотношение между B₁ и B₂ может быть получено из условия затухания за один период , выбор которого определяет отношение вещественной части корней к мнимой:

 =  = 2 / ln(1/(1-)),   где:  = - B₁/2;   = (B₂-B₁²/4)^1/2.

Если принять, что вид переходного процесса определяют три корня, то следует воспользоваться уравнением 3-ей степени:

(3)

(...) (s³+B₁s²+B₂s¹+B₃) = 0,

которое нужно представить в виде:

(s+C₁₁) (s²+B₁₁s+B₂₂) = 0.

Вещественные части корней будут равны ₁ = _2,3 = - B₁/3. Требования к B₁₁ и B₂₂ уже сформулированы, а связи с (3) определены равенствами:

B₁=C₁₁+B₁₁,   B₂=B₂₂+B₁₁C₁₁,   B₃=C₁₁B₂₂.

Выбор порядка уравнения для описания основной составляющей переходного процесса (2) или (3) зависит от структурной схемы САР.