Ошибки системы с астатизмом второго порядка

Если ПФ САР W(s) обладает астатизмом второго порядка, т.е. в области низких частот W(s)|_s0K_/s². Тогда первая составляющая ошибки:

,

т.е. в астатической системе второго порядка ошибки от заданий равного константе и изменяющегося с постоянной скоростью равны нулю, а ошибка от задания меняющегося с постоянным ускорением равна константе x_=/K_.

Качество САР с астатизмом принято характеризовать величинами, называемыми добротностью по скорости и ускорению:

.

О компенсации помех в астатических системах

Рассмотрим вторую составляющую ошибки x''_уст от возмущающих воздействий f_ko. Если САР астатическая, то W(s)|_s0, но возможен случай, когда W_fk(s)|_s0. Т.е. при любой степени астатизма САР x''_уст может быть отличной от нуля.

.

Резюме:

1. Для подавления ошибки от возмущения необходимо, чтобы интегрирующий элемент был включен в контур до места приложения возмущения.

2. Если рассматривать ошибку чувствительного элемента (сумматора) как возмущение, то, очевидно, что повышение степени астатизма не позволяет устранить ее.

Ошибка при движении по гармоническому закону g(t)=G_msin(_kt)

Рассмотрим только первую составляющую ошибки:

x'_уст = g(t) / [1+W (s)] = X_msin(_kt+)

где: g(t) - синусоида; [1+W (s)] - комплексное число.

Следовательно:

X_m = G_m / |1+W (j_k)|  G_m / A(_k). (1)

Резюме:

1. Формула (1) позволяет идентифицировать положение неизвестной ЛАЧХ на данной частоте по амплитуде ошибки или сформулировать требования к ЛАЧХ при синтезе системы.

2. Особые точки ЛАЧХ определены комплексными сопряженными корнями. Поведение системы при данных частотах (_k=|j_k|) требует дополнительного исследования.

3. Особенность движения системы при гармоническом сигнале задания - это смена знака координат, которое во многих системах может сопровождаться нелинейными искажениями типа "ступенька" или сменой направления сил сухого трения.

Коэффициенты ошибок

Пусть известна ПФ по ошибке _x(s), тогда:

X(s) = _x(s) G(s) = 1/(1+W(s)) G(s)

где: G(s) - изображение функции g(t).

Разложим _x(s) в ряд Тейлора:

(2)

X(s) = [c₀ + c₁s/1! + c₂s²/2! + c₃s³/3! + ...] G(s) ;

перейдем к оригиналу:

x(t) = c₀g(t) + c₁g'(t)/1! + c₂g''(t)/2! + c₃g'''(t)/3! + ...

Величины c₀, c₁, c₂, ..., c_m - называют коэффициентами ошибок. Их можно определять двумя способами:

1. c₀ = _x(s)|_s0, c_m = [d^m_x(s)/ds^m]|_s0

2. Делением числителя _x(s) на знаменатель и сравнением с рядом (2).

Примечания:

1. Коэффициенты ряда (2) непосредственно связанны с коэффициентом усиления САР, добротностями K_v, K_, ...

   Система \ Ошибки	K & c0	Kv & c1	K & c2
   W(s)=1/s0 * ...	K & 1/1+K	0 & ...	0 & ...
   W(s)=1/s1 * ...	 & 0	Kv & 1!/Kv	0 & ...
   W(s)=1/s2 * ...	 & 0	 & 0	K & 2!/K

2. САР астатическая сигналу задания g(t) может быть статической для f (t), поэтому равенство нулю коэффициентов c₀, c₁, c₂, ... для сигнала g(t) не обязательно означает равенство нулю коэффициентов c₀, c₁, c₂, ... для сигнала f (t).

3. Ограничение количества членов ряда (2) и предположение о постоянстве коэффициентов ошибок c₀, c₁, c₂, ... определяет применение метода для плавно меняющихся сигналов g(t) и f (t), когда переходная составляющая в движении системы успевает затухнуть.