Критерий устойчивости Михайлова
Чтобы все корни ХУ:
a0 s n + a1 s n-1 + ... + an-1 s + an = 0 ,
имели отрицательные вещественные части, необходимо чтобы после подстановки частоты в соответствующий характеристический полном D(s) полное приращение его фазы при изменении от 0 до составляло n/2, где: n - степень полинома D(s). При этом характеристический полином опишет в комплексной плоскости кривую - "годограф Михайлова".
Док-во: Представим D(s) в виде разложения на линейные множители и выполним подстановку s=j:
D(j) = a0 (j - s1) (j - s2) ... (j - sn) ,
где: s1, s2, ..., sn - корни ХУ. Скобки идентичны, поэтому рассмотрим одну из них. Возможны четыре основных варианта:
Пусть si=, - вещественный положительный корень. Тогда годограф соответствующего линейного множителя (j - ) при изменении от 0 до повернется на угол -/2.
Пустьsi=-,
- вещественный отрицательный корень.
Тогда годограф соответствующего
линейного множителя (j + )
при изменении
от 0 до
повернется на угол /2.
Пустьsi;i+1=±j,
- сопряженные корни с положительной
вещественной частью. Тогда годографы
соответствующих линейных множителей
(j - - j)(j - + j)
при изменении
от 0 до
повернутся на углы -/2+,
и -/2-.
Вектор, соответствующий произведению
двух сомножителей, повернется на угол
равный -.
Пустьsi;i+1=-±j,
- сопряженные корни с отрицательной
вещественной частью. Тогда годографы
соответствующих линейных множителей
(j + - j)(j + + j)
при изменении
от 0 до
повернутся на углы /2-,
и /2+.
Вектор, соответствующий произведению
двух сомножителей, повернется на угол
равный .
Резюме: Если ХУ имеет l корней с положительной вещественной частью, то угол поворота годографа D(j) при изменении от 0 до составит:
= - l /2 + (n - l) /2 = n/2 - l ,
где: n - порядок ХУ.
Свойства годографа Михайлова
Годограф всегда спиралевиден.
При =0, будет =0, следовательно годограф начинается с точки на оси "+1".
Поскольку при K(j)0 (нет безинерционных систем), годограф уходит в бесконечность.
При четном n, годограф стремится к параллельно оси "+1"; при нечетном n, годограф стремится к параллельно оси "+j".
Определение типа границы устойчивости по виду годографа Михайлова
Астатизм первого порядка - "апериодическая" граница устойчивости.
Астатизм второго порядка - "апериодическая" граница устойчивости.
"Колебательная" граница устойчивости.
Граница устойчивости типа "бесконечный корень".
Критерий устойчивости Найквиста
Чтобы система в замкнутом состоянии была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы при изменении от - до + годограф разомкнутой системы W(j) (АФХ), поворачиваясь вокруг начала координат по часовой стрелке, охватил точку (-1, j0) столько раз, сколько корней в правой полуплоскости содержит знаменатель W(j).
Примечания:
Если корней в правой полуплоскости нет, то годограф W(j) не должен охватить точку (-1, j0).
Неустойчивая система в разомкнутом состоянии может быть устойчивой в замкнутом состоянии. И наоборот.
Годограф W(j) всегда начинается на оси "+1". Но при порядке астатизма равном r, по причине устремления W(j) к (при 0), видимая часть годографа появляется только в квадранте r, отсчитанном по часовой стрелке.
Док-во:
Рассмотрим
ПФ для статической САР сдвинутую на
величину (-1,j0):
W1(s) = 1+ W(s) = Q(s)/Q(s) + R(s)/Q(s) = D(s)/Q(s) ,
в ней D(s) - характеристический полином, Q(s) пусть не имеет корней в правой полуплоскости (пусть W(s) устойчива).
Рассмотрим угол поворота годографа W1(s). Он равен = 1(D(j)) - 2(Q(j)). Поскольку степень полинома R(s) всегда меньше степени полинома Q(s), то степени полиномов числителя и знаменателя ПФ W1(s) равны. Следовательно при изменении от - до +: 1(D(j))=n - (по критерию Михайлова), 2(Q(j))=n - (по предположению об отсутствии корней в правой полуплоскости у полинома Q(s)). Т.е. =n-n=0. Другими словами для устойчивости САР в замкнутом состоянии W1(j) не должна охватывать начала координат, а функция W(j) - точку (-1, j0).
Если
знаменатель будет содержатьl
корней в положительной полуплоскости,
то угол поворота годографа W(j)
должен составить величину:
= 1(D(j)) - 2(Q(j)) = n - [(n - l) - l ] = l 2 ,
что и требовалось доказать.