Критерии устойчивости линейных сау.
Прямой анализ устойчивости САУ, основанный на вычислении корней характеристического уравнения, связан с необходимостью вычисления корней, что является непростой задачей. Поэтому в инженерной практике важное значение приобретают правила, позволяющие определять устойчивость системы без вычисления корней характеристического уравнения.
Способы определения устойчивости САУ без вычисления корней характеристического уравнения называются критериями устойчивости САУ. Различают две группы критериев устойчивости: алгебраические – основанные на анализе коэффициентов характеристического уравнения, и частотные – основанные на анализе частотных характеристик САУ.
Необходимое условие устойчивости сар, достаточное только для систем 1-ого и 2-ого порядков
Чтобы корни ХУ имели отрицательные вещественные части, необходимо чтобы все его коэффициенты были положительны. Однако это условие является достаточным только для систем 1-ого и 2-ого порядков. Док-во:
a0 s n + a1 s n-1 + ... + an-1 s + an = 0 , (ХУ)
представим в виде:
a0 (s - s1) (s - s2) ... (s - sn-1) (s - sn) = 0 ,
где: s1, s2, ... sn-1, sn - корни.
В устойчивой системе вещественные части корней отрицательны. Подставим такие корни:
s1 = -1; s2 = -2; s34 = -3±j ... :
a0(s+1)(s+2)(s+3-j)(s+3+j) ... = a0(s+1)(s+2)((s+3)2+2) ... = 0
Если раскрыть скобки и вернутся к стандартному виду ХУ, то все коэффициенты уравнения получатся положительными.
Критерий устойчивости Гурвица
Чтобы все корни ХУ:
|
|
a1 |
a3 |
a5 |
a7 |
... |
0 |
0 |
|
|
a0 |
a2 |
a4 |
a6 |
... |
0 |
0 | ||
|
0 |
a1 |
a3 |
a5 |
... |
0 |
0 | ||
|
0 |
a0 |
a2 |
a4 |
... |
0 |
0 | ||
|
... |
... |
... |
... |
... |
... |
... | ||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
an-1 |
0 | ||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
an-2 |
an |
a0 s n + a1 s n-1 + ... + an-1 s + an = 0 ,
имели отрицательные вещественные части, необходимо, при a0 > 0 выполнение условия: все n определителей Гурвица получаемые из квадратной матрицы коэффициентов должны быть положительны. Матрицы, для расчета определителей, получаются из исходной последовательным исключением последних столбца и строки.
Условие нахождения системы на границе устойчивости - n = 0. Но n = an (n-1) = 0, следовательно, если an = 0, то наблюдается апериодическая граница устойчивости (нулевой корень - астатическая система), а если (n-1) = 0, то - колебательная граница устойчивости (комплексные корни).
Критерий Рауса
Раус предложил критерий устойчивости САУ в виде алгоритма, по которому заполняется специальная таблица с использованием коэффициентов характеристического уравнения:
1) в первой строке записываются коэффициенты уравнения с четными индексами в порядке их возрастания;
2) во второй строке - с нечетными;
3) остальные элементы таблицы
определяется по формуле: Ck,
i = Ck+
1, i - 2 - Ri
Ck
+ 1, i - 1, где Ri
= C1, i - 2/C1,
i - 1, i
3
- номер строки, k - номер столбца.
4) Число строк таблицы Рауса на единицу больше порядка характеристического уравнения.
|
Ri |
i\k |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
- |
1 |
C11 = A0 |
C21 = A2 |
C31 = A4 |
... |
|
- |
2 |
C12 = A1 |
C22 = A3 |
C32 = A5 |
... |
|
R3 = C11/C12 |
3 |
C13 = C21-R3C22 |
C23 = C31-R3C32 |
C33 = C41-R3C42 |
... |
|
R4 = C12/C13 |
4 |
C14 = C22-R4C23 |
C24 = C32-R4C33 |
C34 = C42-R4C43 |
... |
|
... |
... |
... |
... |
... |
... |
Критерий Рауса: для того, чтобы САУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты первого столбца таблицы Рауса C11, C12, C13,... были положительными. Если это не выполняется, то система неустойчива, а количество правых корней равно числу перемен знака в первом столбце.
Достоинство - критерий прост в использовании независимо от порядка характеристического уравнения. Он удобен для использования на ЭВМ. Его недостаток - малая наглядность, трудно судить о степени устойчивости системы, на сколько далеко отстоит она от границы устойчивости.