Математический признак устойчивости.

Понятие устойчивости можно распространить и на случай движения САУ:

• невозмущенное движение,

• возмущенное движение.

При нарушении равновесия САУ, вызванного внешним воздействие, возникают переходные процессы. Вид переходного процесса зависит как от свойств системы, так и от вида возмущения. В переходном процессе присутствуют 2 составляющие: - свободные движения системы, определяемые начальными условиями и свойствами САУ; - вынужденные движения, определяемые возмущением и свойствами системы. Вид переходного процесса определяется как

.

Чтобы САУ могла достоверно отображать задаваемую информацию необходимо, чтобы в переходном процессе свободная составляющая с течением времени должна стремиться к нулю, то есть должно выполняться условие вида:

.

Характер свободного движения системы определяет ее устойчивость или неустойчивость. Возможные виды переходных процессов в САУ представлены на рис.

Рис. Виды кривых переходных процессов.

Определение устойчивости по м. Я. Ляпунову

Невозмущенное движение (при x_i=0) называется устойчивым по отношению к пременным x_i, если при всяком заданном положительном числе A², как бы мало оно нибыло, можно выбрать другое положительное число ²(A²) так, что для всех возмущений x_i0, удовлетворяющих условию:

,

возмущенное движение будет для времени t  T  удовлетворять неравенству:

,

где: _i - коэффициенты, уравновешивающие размерности величин x_i0.

Если с течением времени lim x_i0, то система ассимптотически устойчива.

Понятие о характеристическом уравнении

Было сказано, что устойчивость системы связана с природой самой системы, а не с тем, как внешние источники движущих сил (задание, помехи) заставляют перемещаться ее координаты. Очевидно, что невозможно описать систему не учитывая источников. Поэтому в правой части ДУ описывающих систему всегда будут присутствовать источники движущих сил. Однако если их обнулить, то система ДУ не потеряет смысла. После отключения источников в любой линейной цепи преобразования энергии возникнет переходный процесс обусловленный энергией, которую накопили пассивные реактивные элементы цепи (собственный переходный процесс). Именно он определит, будет ли система устойчивой. И именно эта система ДУ, в которой обнулены величины источников движущих сил, называется характеристической. Если система характеристических ДУ решена относительно одной из координат, то она называется характеристическим уравнением.

Условие устойчивости. Типы границы устойчивости

Устойчивость систем зависит от корней характеристического уравнения, поскольку его решение есть сумма экспоненциальных функций:

.

Рассмотрим варианты свободного движения систем от ненулевого начального положения:

Заметим, что:

C₁ e ^-(+j)t + C₂ e ^-(-j)t = A e ^-t sin(t+) ,

где: A и  - новые постоянные интегрирования,  - показатель затухания,  - круговая частота затухающих колебаний.

Таким образом, для затухания переходного процесса и устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы вещественные части корней были отрицательными, те лежали слева от мнимой оси плоскости корней.

Система будет находиться на границе устойчивости при наличии:

• нулевого корня,

• пары чисто мнимых корней,

• бесконечного корня.