kurs_lekcii_mo_matematicheskomu_analizu / БМ и ББ величины

ЛЕКЦИЯ 3. БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ВЕЛИЧИНЫ. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ.

РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ.

1.Бесконечно малые и бесконечно большие величины

1.Бесконечно малые. При изучении свойств пределов функции особую роль играют функции, пределы которых при стремлении аргумента к какой-либо точке равны нулю.

Определение 1. Функция α(x) ("альфа от х") называется бесконечно малой при x → a , если lim α(x) = 0, т. е. для любого числа ε > 0 существует δ > 0 такое, что из |x − a| < δ следует |α(x)| < ε.

Бесконечно малую функцию называют также бесконечно малой величиной, или просто бесконечно малой.

Свойства бесконечно малых функций

Теорема 1. (свойство 1) Если функции α1(x) и α2(x) являются бесконечно малыми при x → a, то функция α1(x) + α2(x) также есть бесконечно малая при x → a.

Доказательство. Пусть ε > 0 произвольное число. Так как α1(x) и α2(x) бесконечно малые, то найдутся такие числа δ1 , δ2 , что при 0 < |x − a| < δ1 и 0 < |x − a| < δ2 имеют место неравенства

Итак, для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что при 0 < |x −a| < δ выполняется неравенство |α1(x) + α2(x)| < ε . Это означает, что α1(x) + α2(x) есть функция бесконечно малая.

Замечание 1. Данное утверждение распространяется на случай алгебраической суммы любого конечного числа бесконечно малых.

Определение 2. Функция называется ограниченной на интервале (a, b) , если существует число M > 0 такое, что для всех x (a, b) выполняется неравенство

|f (x)| ≤ M .

Определение 3. Функция f (x) называется ограниченной при x → a , если существуют положительные числа M и δ такие, что при условии 0 < |x − a| < δ выполняется неравенство |f (x)| ≤ M.

1

Теорема 2. (свойство 2) Произведение бесконечно малой на ограниченную функцию при x → a есть функция бесконечно малая при x → a.

Доказательство. Пусть f (x) ограниченная функция при x → a , α(x) бесконечно малая в т. a . Тогда существует такое число M > 0 , что |f (x)| < M для всех x , достаточно близких к a . Возьмем любое ε > 0 . Для этого ε существует δ > 0 , что при условии 0 < |x − a| < δ одновременно выполняются неравенства

|f (x)| ≤ M , |α(x)| < Mε .

Поэтому

|f (x)α(x)| = |f (x)||α(x)| < M Mε = ε.

Свойство 3. Произведение постоянной на бесконечно малую есть бесконечно малая.

Свойство 4. Произведение двух бесконечно малых есть бесконечно малая.

Свойства 3 и 4 следуют из свойства 2.

2. Бесконечно большие

Определение 4. Функция f (x) называется бесконечно большой при x → a , если для любого числа M > 0 существует такое число δ > 0 , что |f (x)| > M для всех x , удовлетворяющих неравенству 0 < |x − a| < δ . Обозначается это так: lim f (x) = ∞ .

Замечание 2. Бесконечность ( ∞ ) не число, а символ, который употребляется, например, для того, чтобы указать, что соответствующая функция есть бесконечно большая.

Справедливы следующие свойства, характеризующие связь бесконечно малых и бесконечно больших функций.

Доказательство. Возьмем любое ε > 0, M1 = ε. Так как α(x) бесконечно малая, то числу ε > 0 соответствует δ > 0 такое, что при 0 < |x − a| < δ выполняется неравенство |α(x)| < ε = 1/M , откуда 1/|α(x)| > M.

2

2.Основные теоремы о пределах и их применение

Прежде сделаем следующее замечание. Ниже рассматриваются функции аргумента x , при этом x стремится к a или x стремится к бесконечности. Все устанавливаемые в этом пункте предложения о пределах имеют место в обоих случаях.

Теорема 5. Для того чтобы число A было пределом функции f (x) при x → a, необходимо и достаточно, чтобы эта функция была представима в виде

f (x) = A + α(x),

где α(x) – бесконечно малая.

Доказательство. 1. Пусть lim f (x) = A . Это значит, что для любого ε > 0

x→a

существует такое δ > 0 , что для всех x , удовлетворяющих условию 0 < |x − a| < δ , имеет место неравенство |f (x) − A| < ε , т. е. функция α(x) = f (x) − A есть бесконечно малая и f (x) = A + α(x) .

2. Пусть f (x) = A + α(x) , где α(x) – бесконечно малая. Тогда для любого ε > 0 существует такое δ > 0 , что для x из 0 < |x − a| < δ будет |α(x)| = |f (x) − A| < ε , т. е. A предел функции f (x) при x → a .

Теорема 6. Предел постоянной величины равен самой постоянной.

Это утверждение непосредственно вытекает из определения предела.

Доказательство. Ограничимся случаем суммы. Все остальные утверждения

f1(x) = A1 + α1(x), f2(x) = A2 + α2(x),

где α1(x), α2(x) бесконечно малые. Отсюда

f1(x) + f2(x) = (A1 + A2) + (α1(x) + α2(x)).

3

По свойству 1, сумма бесконечно малых α1(x) + α2(x) является бесконечно малой. Следовательно, по теореме 7

lim[f1(x) + f2(x)] = A1 + A2.

x→a

Первая формула теоремы 10 распространяется на случай алгебраической суммы любого конечного числа слагаемых, а вторая формула этой же теоремы на случай конечного числа сомножителей.

Следствие 1. Если функция f (x) имеет предел при x → a , то

lim[f (x)]n = [lim f (x)]n,

где n натуральное число.

Следствие 2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

Теорема 9. Если для функций f (x), f1(x) и f2(x) в некоторой окрестности точки a выполняется неравенство

В качестве упражнения доказать теорему 9. Доказательство строится из определения предела и понятия абсолютной величины.

При решении примеров на вычисление пределов необходимо учитывать, что для всех основных элементарных функций в любой точке их области определения справедливо равенство

Пример 1. Найти lim(5x2 − 6x + 7).

x→1

Решение. Используя теоремы 8, 10, а также следствия 2 получим

4

lim cos x = cos lim x = cos 0 = 1.

3

Пример 4. Найти lim . x→1 (x − 1)3

Решение.

тогда

3

lim = ∞. x→1 (x − 1)3

Пример 5. Найти lim(3x)x2 .

x→2

Решение. Так как lim 3x = 6 и lim x2 = 4, тогда

x→2 x→2

lim(3x)x2 = 64 = 1296.

x→2

3.Раскрытие неопределенностей

Впростейших случаях нахождение предела сводится к подстановке в данное выражение предельного значения аргумента. Часто, однако, подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенным выражениям вида

00 , ∞∞, 0 · ∞, ∞ − ∞, 00, ∞0, 1∞.

Нахождение предела функции в этих случаях называют раскрытием неопределенности. Для раскрытия неопределенности приходится, прежде чем перейти к пределу, проводить преобразования данного выражения.

Рассмотрим следующие примеры.

x2 − 1

Пример 6. Найти предел lim .

x→0 2x2 − x − 1

5

Решение. Здесь имеет место непосредственная подстановка. Подставим в выражение предельное значение аргумента x = 0 и, используя теорему 10, получим

Решение. Непосредственная подстановка в данное выражение предельного значения аргумента x = 2 приводит к неопределенному выражению вида 00 . Следовательно, прежде чем перейти к пределу, необходимо данное выражение преобразовать. Числитель

рода примерах числитель и знаменатель делят почленно на xn, где n степень многочлена в знаменателе. Разделим числитель и знаменатель на x2, получим

6

Решение. В данном случае также неопределенность вида ( ∞) . Разделим числитель

Решение. Здесь имеет место неопределенность вида ( ∞) . Разделим числитель и

Решение. Здесь имеет место неопределенность вида (∞−∞) . Умножим и разделим

√ √

данное выражение на ( x2 + 8x + 3 + x2 + 4x + 3) . Получим

√√

7