kurs_lekcii_mo_matematicheskomu_analizu / Определители

ТЕМА 2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.

1.Определители и их свойства

1.1.Определители 2-го порядка

Рассмотрим квадратную матрицу A второго порядка:

Определитель матрицы второго порядка также называется просто определителем 2-го порядка. Другое обозначение определителя матрицы A :

det A = |A|.

Свойства определителя:

а) определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы:

б) если в определителе какие-либо две строки (столбца) равны между собой, то такой определитель равен 0;

в) общий множитель всех элементов какой-либо строки (столбца) можно выносить за знак определителя, например:

г) если в определителе поменять местами какие-либо две строки (столбца), то определитель меняет знак:

д) если все элементы какой-либо строки (столбца) определителя равны 0, то такой определитель равен 0;

1

е) если к элементам какой-либо строки (столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца) этого же определителя, умноженные на одно и то же число λ, то определитель не изменится:

ж) если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки (столбцы), кроме данной, прежние, а в данной строке (столбце) в первом определителе стоят первые, а во втором – вторые слагаемые:

определением 11.

1.2.Определители 3-го порядка

Рассмотрим матрицу 3-го порядка:

a11 a12 a13

A = a21 a22 a23 . a31 a32 a33

Формула (1) называется формулой разложения определителя 3-го порядка по элементам первой строки и сводит вычисления определителя 3-го порядка к вычислению трех определителей 2-го порядка.

Определение 13. Минором соответствующим данному элементу aik определителя 3-го порядка, называется определитель 2-го порядка, полученный вычеркиванием i -й строки и k -го столбца из |A|.

Таким образом, формула (1) принимает вид

|A| = a11M11 − a12M12 + a13M13.

Заметим без доказательства, что все свойства определителя 2-го порядка верны и для определителей 3-го порядка. Это можно проверить, пользуясь формулой (1).

2

По свойству г легко получается

Aik = (−1)i+k Mik .

Отсюда (с учетом ( ) и свойства а) вытекает правило вычисления определителей 3-го порядка.

Правило 1. Определитель 3 -го порядка равен сумме попарных произведений элементов какой-либо его строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

|A| = ai1Ai1 + ai2Ai2 + ai3Ai3, i = 1, 2, 3;

|A| = a1j A1j + a2j A2j + a3j A3j , j = 1, 2, 3.

Утверждение 1. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения другой строки (столбца) равна 0:

aj1Ai1 + aj2Ai2 + aj3Ai3 = 0, i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3; i 6= j; a1j A1k + a2j A2k + a3j A3k = 0, j = 1, 2, 3. k = 1, 2, 3; j 6= k.

Доказательство.

|A| = ai1Ai1 + ai2Ai2 + ai3Ai3 (i = 1, 2, 3).

Но Ai1, Ai2, Ai3 не зависят от ai1, ai2, ai3, и если в i -й строке записать элементы другой строки, то две строки совпадут, и по свойству б получим нуль, т. е. aj1Ai1 +aj2Ai2 +aj3Ai3 = 0, если i 6= j.

Аналогично для столбцов: a1j A1k + a2j A2k + a3j A3k = 0, если j =6 k. Утверждение доказано.

В силу формулы (1) получаем:

3

Если элементы матрицы отметить точками, то получим правило треугольников.

Правило 2 (правило треугольников). Слагаемые со знаком “плюс” в формуле

(3) представляют собой произведение элементов определителя, взятых по три так, как указано линией на левой части рисунка, а со знаком “минус” на правой части.

1.3.Определители n -го порядка

Определение 15. Определителем (детерминантом) квадратной матрицы порядка n называется число

где Aij = (−1)i+j Mij алгебраическое дополнение элемента aij . Минором Mij , соответствующим данному элементу aij , называется определитель порядка n − 1, полученный вычеркиванием i -й строки и j -го столбца из |A|.

Отметим, что все свойства определителя 2-го порядка и утверждение 1 верны и для определителя n -го порядка.

Свойства а и е позволяют получить правило, сводящее вычисления определителя порядка n к вычислению определителя порядка n − 1.

Правило 3. Если в определителе все элементы какой-либо строки (столбца), кроме одного, равны нулю, то при вычислении определителя целесообразно разложить его по элементам этой строки (столбца). Если такой строки нет, то, используя свойство e , определитель можно преобразовать так, чтобы он имел такую строку (столбец).

Пример 1.

Вычислить определитель третьего порядка

4

=1 · (6 · (−8) − (−1) · 5) − 2 · (2 · (−8) − (−1) · 3) − 4 · (2 · 5 − 6 · 3) =

=1 · (−43) − 2 · (−13) − 4 · (−8) = 15.

2.Используем правило 2:

=1 · 6 · (−8) + 2 · 5 · (−4) + 2 · (−1) · 3 − (−4) · 6 · 3 − (−1) · 5 · 1 − 2 · 2 · (−8) =

=−48 − 40 − 6 + 72 + 5 + 32 = 15.

3.Используем правило 3: умножим первую строку на ( −2 ) и прибавим ко второй, затем умножим первую строку на ( −3 ) и прибавим к третьей, потом разложим |A| по элементам первого столбца:

= 1 · (−1)1+1 2 7 = 2 · 4 − 7 · (−1) = 8 + 7 = 15.

−1 4

Определитель можно было бы вычислить, разлагая его, например, по элементам первой строки, предварительно обратив в нули два ее элемента.

Решим это кубическое уравнение. Разлагая на множители левую часть уравнения, находим

x3 − 3x + 2 = x3 − x − 2x + 2 = x(x2 − 1) − 2(x − 1) = = (x − 1)[x(x + 1) − 2] = (x − 1)(x2 + x − 2).

Следовательно,

= cos α cos β − sin α sin β = cos(α + β).

5