kurs_lekcii_mo_matematicheskomu_analizu / Нелинейные операции над векторами

ТЕМА 7. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ.

1.Скалярное произведение векторов

Определение 1. Скалярным произведением двух векторов a и b называется число, обозначаемое (a, b) и равное произведению длин векторов на косинус угла между ними:

Скалярное произведение векторов a и b еще обозначают как a · b.

Рис. 1.

Так как по определению проекции |b| · cos ϕ = прab и |a| cos ϕ = прba (рис. 1), то равенство (1) можно представить в двух видах:

(a, b) = |a| · прab = |b| · прba.

Скалярным квадратом вектора a называется скалярное произведение вектора a на себя:

(a, a) = |a| · |a| cos 0o = |a|2,

т. е. скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины. Векторы a и b перпендикулярны тогда и только тогда, когда

Скалярное произведение обладает свойствами:

1)переместительности (коммутативности) (a, b) = (b, a);

2)сочетательности (ассоциативности) относительно числового множителя (αa, b) =

α(a, b);

3)распределительности (дистрибутивности) относительно суммы векторов (a, (b + c)) = (a, b) + (a, c).

1

Рассмотрим доказательство третьего свойства, а доказательства первых двух рекомендуем проделать самостоятельно.

(a, (b + c)) = |a| · прa(b + c) = (по св-ву 1 проекций) =

= |a| · (прab + прac) = |a| · прab + |a| · прac = (a, b) + (a, c).

Из определения скалярного произведения следует неравенство Коши – Буняковского

|(a, b)| ≤ |a| · |b|.

Получим выражение скалярного произведения через координаты векторов. Пусть a = (X1, Y1, Z1) = X1i + Y1j + Z1k,

b = (X2, Y2, Z2) = X2i + Y2j + Z2k.

(a, b) = ((X1i + Y1j + Z1k), (X2i + Y2j + Z2k)) = (по св-ву 3) =

= (X1i, X2i) + (X1i, Y2j) + (X1i, Z2k) + (Y1j, X2i) + (Y1j, Y2j)+

+(Y1j, Z2k) + (Z1k, X2i) + (Z1k, Y2j) + (Z1k, Z2k) = (по св-ву 2) =

= X1 · X2(i, i) + X1 · Y2(i, j) + X1 · Z2(i, k) + Y1 · X2(j, i)+

+Y1 · Y2(j, j) + Y1 · Z2(j, k) + Z1 · X2(k, i) + Z1 · Y2(k, j) + Z1 · Z2(k, k) = = (по св-ву 1 и замечанию 1) = X1 · X2 + Y1 · Y2 + Z1 · Z2.

Скалярное произведение векторов равно сумме произведений одноименных

Пример 1.

2

Даны два вектора: a = (1, −2, 2), b = (2, −2, −1). Найти их скалярное произведение и угол между ними. Чему равно выражение 2(a, a) − 4(a, b) + 5(b, b)?

Решение. Подставляя в формулу (3) координаты векторов a и b, находим

(a, b) = 1 · 2 + (−2) · (−2) + 2 · (−1) = 4.

Так как p

|a| = 12 + (−2)2 + 22 = 3

Поскольку (a, a) = |a|2 = 9 и (b, b) = |b|2 = 9 , то

2(a, a) − 4(a, b) + 5(b, b) = 2 · 9 − 4 · 4 + 5 · 9 = 47.

Пример 2.

Вычислить, какую работу производит сила F = (2, −1, −4), когда точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения (1, −2, 3) в положение

N (5, −6, 1) .

Решение. В соответствии с определением работы и скалярного произведения получаем

A = (F , s),

где A работа; F вектор действующей силы; s вектор пути.

Найдем вектор s = M N : s = (5 − 1, −6 − (−2), 1 − 3) = (4, −4, −2) . С помощью формулы (3) находим

A = (F , s) = 2 · 4 + (−1) · (−4) + (−2) · (−4) = 20 (ед. работы).

Пример 3.

Дан треугольник с вершинами A(−3, 5, 6) , B(1, −5, 7) , C(8, −3, −1). Найти внутренний угол при вершине A и внешний угол при вершине C .

Решение. Внутренний угол треугольника при вершине A равен углу между векторами AB и AC , а внешний угол при вершине C равен углу между векторами

CB и AC (рекомендуется сделать чертеж).

Находим координаты указанных векторов: AB = (4, −10, 1) , AC = (11, −8, −7),

CB = (−7, −2, 8).

Следовательно, ϕ1 = 45o, ϕ2 = 135o .

3

Пример 5.

Найти вектор x, коллинеарный вектору a = (1, 2, −3) и удовлетворяющий условию

(x, a) = 28 .

Решение. Принимая во внимание условие коллинеарности двух векторов, заключаем, что

x = λ(1, 2, −3) = (λ, 2λ, −3λ),

где λ пока неизвестный коэффициент. Так как (x, a) = 28 , то в соответствии с формулой (3) находим

1 · λ + 2 · 2λ + (−3) · (−3λ) = 28,

или 14λ = 28, откуда λ = 2. Следовательно, x = (12, 4, −6) .

Пример 6.

Найти проекцию вектора a = (4, 3, −7) на ось вектора b = (1, −2, −2).

Решение. По определению скалярного произведения и определению проекции (a, b) = |b| · прba. Выразим из этой формулы прba :

2.Векторное произведение векторов

Определение 2. Три некомпланарных вектора OA = a, OB = b, OC = c, взятые в указанном порядке ( a первый вектор, b второй, c третий) и имеющие общее начало, называются тройкой векторов a, b, c. Будем смотреть с конца вектора c на плоскость, определяемую векторами a и b . Если кратчайший поворот от вектора a к вектору b совершается против часовой стрелки, то тройка векторов a, b, c называется правой (рис. 2, а); если указанный поворот совершается по часовой стрелке, тройка a, b, c называется левой (рис. 2, б).

4

Рис. 2

Две тройки, обе правые или обе левые, называются тройками одной ориентации; если одна тройка является правой, а другая левой, то они называются тройками различной ориентации.

Замечание 2. При круговой перестановке векторов (первый заменяется вторым, второй третьим, третий первым) ориентация тройки не меняется, т. е. тройки a, b, c ; b, c, a и c, a, b имеют одну ориентацию. Если поменять местами два вектора, то ориентация

тройки меняется. Например, если a, b, c правая тройка, то тройка b, a, c тех же векторов будет левой.

Тройка векторов i, j, k, задающих декартову прямоугольную систему координат, является правой.

Определение 3. Векторным произведением векторов a и b называется вектор c,

обозначаемый c = a × b, удовлетворяющий условиям:

Рис. 3

Из условия 1 следует, что модуль векторного произведения a × b равен площади S параллелограмма, построенного на векторах a и b , т. е.

Равенство a × b = 0 выражает необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов a и b ; в частности, для любого вектора a

5

Векторное произведение двух векторов обладает свойствами:

1)антиперестановочности множителей a × b = −b × a ;

2)сочетательности относительно скалярного множителя

(αa) × b = a × (αb) = α(a × b);

3) распределительности относительно сложения

(a + b) × c = a × c + b × c, c × (a + b) = c × a + c × b.

Замечание 3. Так как |i| = |j| = |k| = 1, i j, i k, j k и тройка i, j, k правая, то для орт координатных осей i, j, k справедливы следующие равенства:

i × j = k, j × i = −k; j × k = i, k × j = −i; k × i = j, i × k = −j;

i × i = 0, j × j = 0, k × k = 0.

Используя эти равенства, можно получить выражение координат векторного произведения через координаты сомножителей.

Рассмотрим векторы a = X1i + Y1j + Z1k и b = X2i + Y2j + Z2k, тогда

a × b = (X1i + Y1j + Z1k) × (X2i + Y2j + Z2k) = (по св-вам 2 и 3) =

= X1 · X2i × i + X1 · Y2i × j + X1 · Z2i × k+

+Y1 · X2j × i + Y1 · Y2j × j + Y1 · Z2j × k + Z1 · X2k × i+ +Z1 · Y2k × j + Z1 · Z2k × k = (по замечанию 3) =

=X1 · Y2k − X1 · Z2j − Y1 · X2k + Y1 · Z2i + +Z1 · X2j − Z1 · Y2i =

=(Y1 · Z2 − Z1 · Y2)i − (X1 · Z2 − Z1 · X2)j + (X1 · Y2 − Y1 · X2)k.

Полученный результат просто запомнить, если записать его в виде символического

Пример 7.

Упростить выражение (3a − 2b) × (2a + 5b).

Решение. Пользуясь свойствами векторного произведения и формулой (7), получаем

(3a − 2b) × (2a + 5b) =

=(3a) × (2a) + (3a) × (5b) + (−2b) × (2a) + (−2b) × (5b) =

=6a × a + 15a × b − 4b × a − 15b × b = 15a × b + 4a × b = 19a × b.

Пример 8.

6

Даны векторы a, b, c, удовлетворяющие условию a + b + c = 0. Доказать, что a × b = b × c = c × a.

Решение. Умножим векторно a на a + b + c = 0. Получим

a × a + a × b + a × c = a × 0.

Откуда a × b + a × c = 0 , или a × b = −a × c = c × a.

Умножая векторно a + b + c = 0 на b, находим

a × b + b × b + c × b = 0 × b.

Откуда a × b + c × b = 0 , или a × b = −c × b = b × c.

Из двух равенств a × b = c × a и a × b = b × c следует доказываемое равенство

a × b = b × c = c × a.

Пример 9.

Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b, если a =

Решение. Пользуясь формулой (6), свойствами векторного произведения и условием коллинеарности векторов (7), имеем

S = |a × b| = |(7p + q) × (p − 2q)| = |7p × p + q × p − 14p × q − 2q × q| =

Пример 10.

Даны векторы a = (1, −2, 2) , b = (3, 0, −4). Найти их векторное произведение, синус угла между ними и площадь параллелограмма, построенного на этих векторах.

Решение. Векторное произведение вычислим с помощью формулы (8):