kurs_lekcii_mo_matematicheskomu_analizu / Формула Тейлора

ЛЕКЦИЯ 14. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА.

Формула Тейлора

f (x) = f (a) + f ′(a) · (x − a) + . . . + f (n)(a) (x − a)n + Rn n!

очень важна как для теории, так и для практических приложений. В частности, с её помощью можно вычислить приближённые значения функции f (x) , если известны значения этой функции и её производных до порядка n в "начальной"точке x = a и если, кроме того, удаётся оценить остаточный член Rn . Если

с погрешностью α0 .

Для оценки погрешности формулы (2) важна форма записи остаточного члена Rn . Распространённой является запись остаточного члена в форме Лагранжа:

f (n+1)(c)

Rn = (n + 1)! · (x − a)n+1, где c лежит между a и x.

Здесь оценка остаточного члена зависит от оценки (n + 1) -й производной функции f (x) . Так, например, если известно, что на отрезке, которому принадлежит рассматриваемое значение x ,

|f (n+1)(t)| < M,

то

Условие (1) можно использовать и для определения числа n , если погрешность α0 задана заранее. Необходимо иметь в виду, что условие (1) определяет погрешность формулы (2). Если же вычислять по формуле (2) приближённое значение f (x) при конкретном числовом значении x , то может оказаться, что слагаемые в этой формуле (по крайней мере, некоторые из них) сами вычисляются приближённо. И тогда погрешность результата вычислений будет представлять собой сумму погрешностей слагаемых и погрешности формулы. Если же вести вычисления всех слагаемых с одинаковой погрешностью α0, которая является и погрешностью формулы, то общая погрешность значения, вычисленного по формуле (2), будет, очевидно, равна

β = (n + 2) · α0.

1

При достаточно малом числе членов (по крайней мере, при n ≤ 8 ) условие (3) будет заведомо выполняться, если положить

Обычно точность вычислений задаётся в виде α = 10−m . Условие (4) показывает, что α0 = 10−(m+1) . Это значит, что вычисления надо производить с одним запасным знаком. Условие (1), которое мы можем использовать для определения числа n , в этом случае

примет вид

|Rn| < 10−1 · α.

Замечание 1. Выше установлено, что один запасной знак обеспечивает требуемую точность, по крайней мере, при n ≤ 8 . Легко заметить, что два запасных знака обеспечивают требуемую точность по крайней мере при n ≤ 98 . Но практически это будет верно и при значительно большем числе членов, так как значения функции и ее производных в точке x = a обычно бывают известны с абсолютной точностью. Поэтому два первых члена в формуле (2) абсолютно точны, следовательно, при одном запасном знаке требуемая точность обеспечивается более чем при 10 членах, при двух запасных знаках более чем при 100 членах и т. д.

−1 < x ≤ 1.

Пример 1. Применяя формулу Тейлора с остаточным членом, в форме Лагранжа, вычислить e0.1 с точностью до 0.001 .

2

Решение. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа для функции f (x) = ex имеет вид

Значение x = 0.1 принадлежит отрезку [0; 0.5] , следовательно, 0 < θx < 0.5 и eθx < e0.5 < 2;

При заданной погрешности α условие (5) будет заведомо выполняться, если мы положим

2 · xn+1/(n + 1)! < 10−1 · α, откуда

e0.1 ≈ 1.1052 ≈ 1.105.

Итак, e0.1 ≈ 1.105 . Здесь условие (11) оказалось выполненным при k = n + 1 = 4, т. е. при n = 3 . Всего сохранено четыре слагаемых. Следовательно, одного запасного знака было достаточно.

3